Have you ever sat in a math classroom and wondered, “When will I ever use this?”Você poderia ter feito a si mesmo esta pergunta quando encontrou números “imaginários”, e com boa razão: o que poderia ser menos prático do que um número descrito como imaginário?
mas números imaginários, e os números complexos que ajudam a definir, acabam por ser incrivelmente úteis. Eles têm um grande impacto na Física, Engenharia, teoria dos números e geometria., E eles são o primeiro passo para um mundo de sistemas de números estranhos, alguns dos quais estão sendo propostos como modelos das relações misteriosas subjacentes ao nosso mundo físico. Vamos dar uma olhada em como esses números desconhecidos estão enraizados nos números que conhecemos, mas ao mesmo tempo, são diferentes de tudo o que imaginamos.
Os “números reais” são alguns de nossos mais conhecidos os objetos matemáticos: são todos os números que podem ser representados em notação decimal, como 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… e $latex \pi \approx$ 3.141592…., Nós podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números reais, e nós os usamos para responder perguntas tanto nas salas de aula como em nossas vidas cotidianas. Mas os números reais não são suficientes para resolver todos os nossos problemas de matemática.
em 1500, o mestre solucionador de equações Girolamo Cardano estava tentando resolver equações polinomiais. Ele não teve problemas em resolver equações como $ latex x^2-8x+12=0$, porque era fácil encontrar dois números cuja soma era 8 e cujo produto era 12: ou seja, 2 e 6., Isto significava que $latex x^2-8x+12$ poderia ser facturado como $latex(x-2) (x-6)$, e expressando este polinômio como um produto de dois fatores feitos resolvendo a equação $latex x^2-8x+12=0$ fácil.
mas não foi tão fácil fazer isso para equações como $ latex x^2-3x + 10 = 0$. Encontrar dois números que adicionam a 3 e se multiplicam a 10 parece um desafio impossível. Se o produto dos dois números é positivo, eles devem ter o mesmo sinal, e uma vez que sua soma é positiva, isso significa que ambos devem ser positivos., Mas se dois números positivos somarem-se a 3, ambos devem ser inferiores a 3, o que significa que o seu produto será inferior a 3 × 3 = 9. Não parece haver uma maneira de fazer isto funcionar.
Cardano tratou estes números não-reais, ou “imaginários” de forma hesitante, mesmo descrevendo a aritmética que ele fez com eles como inúteis. Mas ele ficou surpreso ao descobrir que eles obedeceram muitas das mesmas regras que os números reais fazem. E embora tenha demorado algum tempo, o uso relutante de Cardano de $ latex \sqrt{-1} $ levou ao desenvolvimento dos “números complexos”, uma extensão poderosa e produtiva dos números reais.,os números complexos são constituídos por uma parte real e uma parte imaginária. Eles têm a forma a + bi, onde a e b são ambos números reais, e$ latex I=\sqrt{-1}$, também conhecido como a “unidade imaginária”.”Eles podem parecer estranhos no início, mas rapidamente descobrimos que podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números complexos, assim como fazemos com números reais.,
Para adicionar e subtrair números complexos, basta combinar as partes reais e imaginária de peças, como este:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Este é semelhante a combinação de “termos como” quando você adicionar polinômios juntos:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
a Multiplicação de números complexos é feita utilizando o mesmo “propriedade distributiva” usamos com números reais.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Isto ilustra a propriedade de” fechamento”: quando você multiplica dois números complexos, você obtém outro número complexo. Não se consegue outra coisa.
Multiplication of complex numbers is even “comutative”: This means when you multiply two complex numbers in either order, the result is the same. Por exemplo, você pode verificar que (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. Muitas vezes tomamos para concedido que a multiplicação de números reais é comutativa, por exemplo, que 5 × 4 = 4 × 5 — mas, como veremos mais tarde, este importante fato não se mantenha para cada sistema de número.,
assim podemos multiplicar números complexos, mas como os dividimos? A chave é entender a relação entre divisão e multiplicação.
muitas vezes digo aos alunos que não existe tal coisa como divisão: existe apenas multiplicação pelo recíproco. Quando vemos a expressão $latex \frac{10}{2}$, geralmente pensamos que “10 dividido por 2”, mas também podemos pensar nisto como $latex 10\vezes\frac{1}{2}$, ou “10 multiplicado pelo recíproco de 2.,”
agora isto pode parecer uma abordagem desnecessariamente complicada para a divisão, mas compensa quando você começa a pensar em números como$latex \frac{1}{i}$. O Significado de “1 dividido por i” pode não ser imediatamente claro, mas “o recíproco de i” é o número que você multiplica com eu para obter 1. E pode ser um pouco surpreendente que este número seja … eu!,
i × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
Usando o fato de que i × i = -1, e algumas outras importantes propriedades dos números reais e complexos (que vamos trazer o sinal negativo na frente da expressão), vemos que i × (–i) = 1, e então –eu, realmente, é a recíproca do eu. Isso significa que, se quisermos dividir um número por i, podemos simplesmente multiplicar por –me em vez disso.
para outros números complexos, a aritmética pode ficar um pouco mais difícil, mas a ideia recíproca ainda funciona., Por exemplo, para computar $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ precisamos encontrar o inverso de 3 + 4i, e, para isso, vamos usar um truque envolvendo a “conjugado” de um número complexo, isto é, o número que você começa quando você alternar o sinal da sua parte imaginária.
Notice what happens when we multiply the complex number 3 + 4i by its conjugate 3-4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number.,, podemos dividir ambos os lados da equação por 25 e fazer alguma álgebra:
$látex (3+4i) \vezes (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \vezes (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \vezes (3-4i)}{25}=1$
$látex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
A introdução de um novo número real — i, a unidade imaginária — lançou uma nova matemática do mundo para explorar., É um mundo estranho, onde os quadrados podem ser negativos, mas cuja estrutura é muito semelhante aos números reais com os quais estamos tão familiarizados. E essa extensão aos números reais foi apenas o começo.em 1843, William Rowan Hamilton imaginou um mundo no qual havia muitas “unidades imaginárias” distintas, e ao fazê-lo descobriu os quaterniões. Os quaterniões são estruturados como os números complexos, mas com a adição de uma raiz quadrada de -1, o que Hamilton chamado j e k. Cada quaternion tem a forma a + bi + cj +dk, onde a, b, c e d são números reais, e $latex i^2=j^2=k^2=-1$., Você pode pensar que qualquer um pode inventar um novo sistema de números, mas é importante perguntar se ele terá as estruturas e propriedades que queremos. Por exemplo, o sistema será fechado sob multiplicação? Seremos capazes de nos dividir?
Para garantir o quatī tinha essas propriedades, Hamilton tinha que descobrir o que fazer sobre o i × j. Todos os quaternions precisa olhar como a + bi + cj +dk, e, i × j não. Tivemos um problema semelhante quando nós primeiro multiplicado dois números complexos: o Nosso resultado inicial tinha um i × i termo, que não parecem se encaixar., Felizmente, poderíamos usar o fato de que $ latex i^2 = -1$ para colocar o número em sua forma adequada. Mas o que pode ser feito com i × j?
o próprio Hamilton lutava para entender este produto, e quando o momento de inspiração finalmente veio, ele esculpiu a sua visão sobre a pedra da ponte ele estava atravessando:
$latex i^2=j^2=k^2=i\vezes j\vezes k=-1$
Pessoas de todo o mundo continuam a visitar Broome Ponte em Dublin para compartilhar este momento de descoberta matemática.,a famosa relação de Hamilton entre as unidades imaginárias i, j E k permite-nos multiplicar e dividir quaterniões e obter os resultados que esperamos. Vamos ver como isso resolve a questão do que i × j deve ser.
começando com i × j × k = -1, multiplicamos ambos os lados da equação (em seus lados direito) por k e simplificamos.
da relação de Hamilton, vemos que I × j =K., Aqui estamos usando o fato de que k × k = -1 junto com outras propriedades, incluindo a “propriedade associativa” da multiplicação, que diz que, ao multiplicar mais de duas coisas juntas, você pode escolher qual par multiplicar primeiro. Esta é outra propriedade que tomamos como garantida com os números reais — por exemplo, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — e tal como com a comutatividade, veremos que nem sempre funciona para todos os sistemas de números.,
Os outros produtos podem ser obtidas de forma semelhante, e assim obtemos uma tabela de multiplicação do imaginário unidades que se parece com isso:
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
Estas quaternion multiplicação de regras pode ser representado no diagrama a seguir:
Aqui, movendo-se ao redor do círculo no sentido das setas dá-lhe o produto adequado (i × j = k), e movendo-se na direção oposta introduz um fator de -1 (ex. j × i = – k)., Note que isto significa que, ao contrário dos números reais e complexos, a multiplicação de quaterniões não é comutativa. (É por isso que tivemos que multiplicar ambos os lados da equação i × j × k = -1 acima por k em seus lados direitos.) Multiplicar dois quaterniões em diferentes ordens pode produzir resultados diferentes!
$latex i\times j=k\neq-k=j\times I$
para obter o tipo de estrutura que queremos nos quaterniões, temos de abandonar a comutatividade da multiplicação., Esta é uma perda real: a comutatividade é um tipo de simetria algébrica, e a simetria é sempre uma propriedade útil em estruturas matemáticas. Mas com essas relações no lugar, ganhamos um sistema onde podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir tanto quanto fizemos com números complexos.para adicionar e subtrair quaterniões, coletamos termos como antes. Para multiplicar ainda usamos a propriedade distributiva: ela requer apenas um pouco mais de distribuição., E para dividir quaterniões, ainda usamos a idéia do conjugado para encontrar o recíproco, porque assim como com números complexos, o produto de qualquer quaternião com seu conjugado é um número real.
$latex (a+bi+cj+dk)\vezes(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
Assim, os quaterniões são uma extensão dos números complexos, onde podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir., E como os números complexos, os quaterniões são surpreendentemente úteis: eles podem ser usados para modelar a rotação do espaço tridimensional, o que os torna inestimáveis na renderização de paisagens digitais e vídeo esférico, e no posicionamento e orientação de objetos como naves espaciais e celulares em nosso mundo tridimensional.
estas extensões além dos números reais continuam ainda com as oitoniões de oito dimensões, um sistema de números ainda mais estranho descoberto pelos colegas de Hamilton que tem sete unidades imaginárias., Assim como em todos os outros sistemas de números que vimos, você pode adicionar, subtrair, multiplicar e dividir oitoniões. E assim como com os quaterniões, precisamos de algumas regras especiais para governar como multiplicar todas as unidades imaginárias. Aqui estão eles, representados graficamente em um diagrama conhecido como o “Fano avião”:
Como na representação para os quaternions, multiplicando ao longo da direção da seta dá uma positiva com o produto, e contra a seta dá negativo.como os quaterniões, a multiplicação de octoniões não é comutativa., Mas estender nossa idéia de número para fora aos octonions custa – nos a associatividade da multiplicação também. Ao multiplicar três octoniões x, y E z, não é necessariamente verdade que (x × y) × z = x × (y × z). Por exemplo, usando o diagrama acima, podemos ver que
$latex (e_{3}\times e_{4})\vezes e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
mas
$latex e_{3}\vezes(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
Então, agora temos um sistema de numeração com os não-commutatitve, não-associativa da multiplicação e sete raiz quadrada de-1., Quando é que alguém usaria isso? Bem, alguns físicos acreditam que as octoniões podem ter a chave para descrever como as forças fortes, fracas e eletromagnéticas agem em quarks, leptões e suas anti-partículas. Se for verdade, isto pode ajudar a resolver um dos grandes mistérios da física moderna.ao estender repetidamente os números reais para criar sistemas maiores-os números complexos, os quaterniões, os octoniões — nos quais podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir, perdemos um pouco de familiaridade com cada passo. Ao longo do caminho, também podemos perder contato com o que pensamos como real., Mas o que ganhamos são novas maneiras de pensar sobre o mundo. E podemos sempre encontrar um uso para isso.exercícios
1. Nós criamos os números complexos definindo i de modo que $ latex i^2=-1$. Consegue encontrar um número z complexo tal que $latex z^2=i$?
Hint: Let z = a + bi and square it. Em que condições em a E b isso seria igual a i?2. Deixe $latex z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Mostra a $latex z ^ 3= – 1$. Consegues encontrar as outras duas raízes cúbicas de -1?
Download do gráfico PDF “Four Special Number Systems” para compartilhar com os alunos.,correcção adicionada Out. 26: o nome do meio de William Rowan Hamilton foi mal escrito como” Rohan ” no post original deste artigo.
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