Różnicowanie funkcji trygonometrycznych

granica sin(θ)/θ jako θ ma tendencję do 0edit

diagram po prawej stronie pokazuje okrąg o środku i promieniu R = 1. Niech dwa promienie OA i OB tworzą łuk radianów θ. Ponieważ rozważamy granicę jako θ zmierza do zera, możemy założyć, że θ jest małą liczbą dodatnią, powiedzmy 0 < θ < ½ π w pierwszym kwadrancie.,

na diagramie niech R1 będzie trójkątem OAB, R2 sektorem kołowym OAB, a R3 trójkątem oac. Obszar trójkąta OAB wynosi:

A R e A ( R 1 ) = 1 2 | O A | | O B | sin θ θ = 1 2 sin θ θ . {\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1} {2}}\ / OA / \ / OB / \ sin \ theta ={\tfrac {1} {2}} \ sin \ theta \,. A R e A (R 3 ) = 1 2 / O A / / A C / = 1 2 tan θ θ . {\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1} {2}}\ / OA / \ / AC / ={\tfrac {1} {2}}\tan \ theta \,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Ponadto, ponieważ sin θ > 0 w pierwszym kwadrancie możemy podzielić przez ½ sin θ, dając:

1 < θ sin θ θ < 1 cos θ θ ⟹ 1 > sin θ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implikuje 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,

w ostatnim kroku przyjęliśmy wzajemność trzech pozytywnych terminów, odwracając nierówności.

wnioskujemy, że dla 0 < θ < ½ π, ilość sin(θ) / θ jest zawsze mniejsza niż 1 i zawsze większa niż cos(θ)., Tak więc, gdy θ zbliża się do 0, sin (θ)/θ jest „ściśnięty” między sufitem na wysokości 1 a podłogą na wysokości cos θ, która wznosi się w kierunku 1; stąd sin(θ)/θ musi zmierzać do 1, ponieważ θ zmierza do 0 z pozytywnej strony:

Lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0^{ + }} {\frac {\sin \ theta} {\theta }} =1\,.,}

Dla Przypadku, Gdy θ jest małą liczbą ujemną –½ π < θ < 0, używamy faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą:

Lim θ → 0 − sin ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = Lim θ → 0 + − sin θ θ − θ = Lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0^{ -}}\!{\frac {\sin \ theta} {\theta}} \ = \ lim _ {\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {\sin (- \theta)} {- \theta}} \ = \\lim _{\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {- \sin \ theta} {- \theta}} \ = \ \ lim _ {\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {\sin \ theta} {\theta}} \ = \ 1\,.,}

granica (cos(θ)-1) / θ jako θ ma tendencję do 0Edit

ostatnia sekcja pozwala stosunkowo łatwo obliczyć tę nową granicę. Odbywa się to poprzez zastosowanie prostej sztuczki. W tych obliczeniach znak θ jest nieistotny.

Lim θ → 0 cos θ θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ θ − 1 θ ) ( cos θ θ + 1 cos θ θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos ⁡ θ + 1 ) . {\displaystyle \ lim _{\theta\to 0}\, {\frac {\cos\theta -1} {\theta}} \ = \\lim _ {\theta\to 0}\left ({\frac {\cos\theta -1} {\theta}}\right)\!\!\ left ({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1} {\theta \, (\cos \ theta +1)}}.}

za pomocą cos2θ – 1 = –sin2θ,fakt, że granica iloczynu jest równa iloczynowi granic i ograniczyć wynik z poprzedniego rozdziału, widzimy, że:

Lim θ → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = Lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − Lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( Lim θ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\ left (\lim _{\theta\to 0}\, {\frac {\sin\theta} {\cos\theta +1}}\ right) \ = \(-1)\left ({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}

granica tan(θ)/θ jako θ ma tendencję do 0Edit

używając granicy dla funkcji sinusowej, faktu, że funkcja styczna jest nieparzysta, oraz faktu, że granica iloczynu jest iloczynem granic, znajdujemy:

Lim θ → 0 tan θ θ θ = ( lim θ → 0 sin θ θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos ⁡ θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \ lim _ {\theta \ to 0} {\frac {\tan \ theta} {\theta }} \ = \ \ left (\lim _{\theta\to 0} {\frac {\sin\theta} {\theta}}\right)\!,\ left (\lim _{\theta\to 0} {\frac {1} {\cos\theta}} \ right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

pochodna funkcji sinusoidy

obliczamy pochodną funkcji sinusoidy z definicji granicznej:

d D θ sin θ θ = lim δ → 0 sin ⁡ (θ + δ ) − sin θ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }}\, \ sin \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0} {\frac {\sin (\theta + \ delta)- \ sin \ theta} {\delta}}.,}

za pomocą kąt oprócz formuły sin(α+β) = α grzech, bo β + β α grzech, ponieważ, mamy:

d d θ sin ⁡ θ = Lim δ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ = Lim δ → 0 ( sin ⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta}}\, \sin \theta =\lim _{\delta \to 0} {\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta} {\delta}} =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta} {\delta}} \cos \theta +{\frac {\cos \delta -1} {\delta}} \sin \theta \right).,

używając granic dla funkcji sinus i cosinus:

D D θ sin θ θ = (1) cos θ θ + (0 ) sin θ θ = cos θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }}\, \ sin \ theta =(1) \ cos \ theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}

pochodna funkcji cosinejedytuj

z definicji pochodnejedytuj

ponownie obliczamy pochodną funkcji cosinej z definicji granicznej:

D D θ cos θ θ = lim δ → 0 cos ⁡ (θ + δ ) − cos ⁡ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!,\theta }}\, \ cos \ theta = \ lim _{\delta \ to 0} {\frac {\cos (\theta + \ delta)- \ cos \ theta} {\delta}}.}

za pomocą kąt oprócz formuły cos(α+β) = соѕ α соѕ β – α β grzech grzechem, mamy:

d d θ cos ⁡ θ = Lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − sin ⁡ θ sin ⁡ δ − cos ⁡ θ δ = Lim δ → 0 ( cos ⁡ δ − δ 1 cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!,\theta}}\, \cos\theta =\lim _{\delta\to 0} {\frac {\Theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \Theta \right).

używając granic dla funkcji sinus i cosinus:

D D θ cos θ θ = (0) cos θ θ − (1 ) sin θ θ = − sin θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }}\, \ cos \ theta =(0) \ cos \ theta – (1) \ sin \ theta = – \sin \theta\,.,}

z łańcucha ruleEdit

aby obliczyć pochodną Cosinus z łańcucha zwykle pierwsza przestrzegać następujące trzy fakty:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π / 2 − θ ) {\właściwości wyświetlania stylu wartość \bo \theta =\sin \lewej({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \prawej)} sin ⁡ θ = w cos ⁡ ( π / 2 − θ ) {\właściwości wyświetlania stylu wartość \sin \theta =\cos \w lewo({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \prawej)} – d ' d θ sin ⁡ θ = w cos ⁡ θ {\właściwości styl wyświetlania wartości {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {e} \!\theta }} \ sin \ theta =\cos \ theta }

pierwsza i druga są tożsamościami trygonometrycznymi, a trzecia jest udowodniona powyżej., Używając tych trzech faktów, możemy napisać następujące,

d D θ cos θ θ = D D θ sin π ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta}} \ cos \ theta ={\tfrac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta}} \ sin \ left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} D D θ f (g ( θ ) ) = f '(g ( θ ) ) ⋅ g ' (θ ) = cos ⁡ (π 2 − θ) ⋅ (0 − 1 ) = − sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!f!\ left (g\!\ left (\theta\right)\right)=f^{\prime}\!\ left (g\!\ left (\theta\right)\right) \ cdot g^{\prime}\!,\ left (\theta \ right)=\cos\left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta\right)\cdot (0-1) = -\sin \ theta } .

dlatego udowodniliśmy, że

D D θ cos θ θ = − sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta}} \ cos \ theta = – \ sin \theta}.

pochodna funkcji stycznejedytuj

z definicji pochodnejedytuj

aby obliczyć pochodną funkcji stycznej tan θ, używamy pierwszych zasad. Z definicji:

d D θ tan θ θ = lim δ → 0 ( tan ⁡ (θ + δ ) − tan θ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!,\theta }}\, \tan \ theta = \ lim _ {\delta\to 0}\left ({\frac {\tan (\theta +\delta)- \tan\theta} {\delta}} \ right).}

używając dobrze znanego wzoru kątowego tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1-tan α tan β), mamy:

D D θ tan θ θ = Lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0} \ left = \lim _{\delta\to 0} \ left.

wykorzystując fakt, że granica produktu jest iloczynem granic:

d D θ tan θ θ = Lim δ → 0 tan δ δ δ × lim δ → 0 (1 + tan 2 θ θ 1 − tan θ θ tan δ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta}}\, \tan \theta =\lim _{\delta \to 0} {\frac {\tan \delta} {\delta}} \times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta} {1-\tan \theta \tan \delta}} \right).}

używając granicy dla funkcji stycznej i faktu, że tan δ zmierza do 0, jak δ zmierza do 0:

D D θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }}\, \ tan \ theta =1 \ times {\frac {1+ \ tan ^{2}\theta} {1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}

od razu widać, że:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = z COS 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = s 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }}\, \ tan \ theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta} {\cos ^{2} \ theta} ={\frac {\cos ^ {2} \ theta} ={\frac {1} {\cos ^{2} \ theta} = \ sec ^{2} \theta\,.}

z reguły ilorazuedytuj

można również obliczyć pochodną funkcji stycznej za pomocą reguły ilorazu.,

d d θ tan ⁡ θ = d θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ = ( sin ⁡ θ ) '⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ) ' cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\ Theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2 {\displaystyle {\frac {1} {\cos ^{2}\Theta}} = \Sec ^{2} \theta}

zatem

D D θ tan θ θ =Sec 2 θ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }} \ tan \ theta = \ sec ^{2} \ theta }