La differenziazione delle funzioni trigonometriche

Concludiamo che per 0 <θ < ½ π, la quantità sin(θ) / θ è sempre inferiore a 1 e sempre maggiore di cos(θ)., Così, come θ si avvicina a 0, sin (θ)/θ è “schiacciato” tra un soffitto all’altezza 1 e un pavimento all’altezza cos θ, che sale verso 1; quindi sin(θ)/θ deve tendere a 1 come θ tende a 0 dal lato positivo:

lim θ → 0 + sin θ θ θ = 1 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

Per il caso in cui θ è un piccolo numero negativo –½ π < q < 0, usiamo il fatto che il seno è una funzione pari e dispari:

lim θ → 0 − peccato ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − peccato ⁡ θ − θ = lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!{\frac {\sin \ theta} {\theta }} \ = \ \ lim _ {\theta \ a 0^{ + }}\!{\frac {\sin (- \theta)} {- \theta }} \ = \\lim _{\theta \ a 0^{+}}\!{\frac {- \sin \ theta} {- \theta }} \ = \\lim _{\theta \ a 0^{+}}\!{\frac {\sin \ theta} {\theta}} \ = \ 1\,.,}

Limite di (cos (θ) -1) /θ come θ tende a 0Edit

L’ultima sezione ci permette di calcolare questo nuovo limite relativamente facilmente. Questo viene fatto impiegando un semplice trucco. In questo calcolo, il segno di θ non è importante.

lim θ → 0 cos θ θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ θ − 1 θ ) ( cos θ θ + 1 cos θ θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos θ θ + 1 ) . {\displaystyle \ lim _ {\theta \ to 0}\, {\frac {\cos \ theta -1} {\theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ to 0}\left ({\frac {\cos\theta -1} {\theta}}\right)\!\!a sinistra ({\frac {\cos \ theta + 1} {\cos \ theta + 1}}\destra) \ = \ \ lim _{\theta \ a 0}\, {\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1} {\theta\, (\cos \ theta +1)}}.}

l’Utilizzo di cos2θ – 1 = –sin2θ,il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, e il limite di risultati della sezione precedente, troviamo che:

lim θ → 0 cos ⁡ q − 1 q = lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,a sinistra (\lim _ {\theta \ a 0}\, {\frac {\sin \ theta } {\cos \ theta +1}} \ destra) \ = \(-1) \ sinistra ({\frac {0}{2}}\destra)=0\,.}

Limite di tan(θ)/θ θ come tende a 0Edit

Utilizzando il limite per la funzione seno, il fatto che la tangente la funzione è dispari, e il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, troviamo:

lim θ → 0 tan ⁡ θ θ = ( lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos ⁡ θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!,\left (\lim _ {\theta \ to 0} {\frac {1} {\cos \ theta }} \right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

Derivata della funzione sinusoidalemodifica

Calcoliamo la derivata della funzione sinusoidale dalla definizione limite:

d d θ sin θ θ = lim δ → 0 sin sin ( θ + δ ) − sin θ θ δ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

Utilizzando l’angolo, oltre la formula sin(α+β) = sin α cos β + sin b cos α, abbiamo:

d d θ peccato ⁡ θ = lim δ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( peccato ⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ peccato ⁡ θ ) . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!per esempio, se si utilizza un sistema di controllo automatico, è possibile utilizzare un sistema di controllo automatico per la gestione dei dati personali.,}

Usando i limiti per le funzioni seno e coseno:

d d θ sin θ θ = ( 1 ) cos θ θ + ( 0 ) sin sin θ = cos θ θ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}

Derivata della funzione cosineedit

Dalla definizione di derivativeEdit

Calcoliamo nuovamente la derivata della funzione coseno dalla definizione limite:

d d θ cos θ θ = lim δ → 0 cos cos ( θ + δ ) − cos θ θ δ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!,non ci sono problemi con il sistema operativo.}

Utilizzando l’angolo, oltre la formula cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, abbiamo:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − peccato ⁡ θ peccato ⁡ δ − cos ⁡ θ δ = lim δ → 0 cos (⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ peccato ⁡ θ ) . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!,per esempio, se si utilizza un motore di ricerca o un motore di ricerca, è possibile utilizzare un motore di ricerca o un motore di ricerca.}

Usando i limiti per le funzioni seno e coseno:

d d θ cos θ θ = ( 0 ) cos θ θ − ( 1 ) sin sin θ = − sin θ θ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}

Dalla catena ruleEdit

calcolare la derivata della funzione coseno dalla catena di regola, prima di osservare le seguenti tre fatti:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} peccato ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ peccato ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta}} \sin \theta =\cos \theta}

Il primo e il secondo sono identità trigonometriche e il terzo è dimostrato sopra., Usando questi tre fatti, possiamo scrivere quanto segue,

d d θ cos cos θ = d d θ sin sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d q f ( g ( θ ) ) = f ‘( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!teta}} f\!\ sinistra (g\!\left (\theta\right) \ right)=f^{\prime}\!\ sinistra (g\!\left (\theta\right)\right) \ cdot g^{\prime}\!,\left (\theta\right)=\cos\left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta\right)\cdot (0-1)=-\sin \ theta } .

Pertanto, abbiamo dimostrato che

d d θ cos cos θ = − sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!- \sin \theta}} \cos \theta =- \ sin \ theta}.

Derivata della funzione tangenteEdit

Dalla definizione di derivativeEdit

Per calcolare la derivata della funzione tangente tan θ, usiamo i primi principi. Per definizione:

d d θ tan θ θ = lim δ → 0 ( tan ⁡ (θ + δ ) − tan θ θ δ ) . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!,Non ci sono problemi con il sistema operativo, ma non ci sono problemi con il sistema operativo.}

Usando la ben nota formula dell’angolo tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), abbiamo:

d d θ tan θ θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _ {\delta \ a 0} \ left = \lim _{\delta\a 0} \ left.}

Utilizzando il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti:

d d θ tan θ θ = lim δ → 0 tan δ δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ θ 1 − tan θ θ tan δ δ ) ., il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}

Usando il limite per la funzione tangente, e il fatto che tan δ tende a 0 come δ tende a 0:

d d θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 – 0 = 1 + tan 2 θ θ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!\theta }}\, \ tan \ theta =1 \ volte {\frac {1+ \ tan ^{2}\theta} {1-0}}=1+\tan ^{2} \ theta .,}

Si vede subito che:

d d tan θ ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = 2 sec ⁡ θ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}

Dalla regola del quozienteedit

Si può anche calcolare la derivata della funzione tangente usando la regola del quoziente.,

d d tan θ ⁡ θ = d d θ senza ⁡ θ cos ⁡ θ = ( senza ⁡ θ ) ‘⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ q × cos (⁡ θ ) ‘ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}

Il numeratore può essere semplificata a 1 del Pitagorico identità, dando a noi,

1 cos 2 ⁡ θ = 2 sec ⁡ θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }

Quindi,

d d tan θ ⁡ θ = 2 sec ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta = \ sec ^{2}\theta }