la Limite de sin(θ)/θ comme θ tend à 0Edit
Le schéma de droite montre un cercle de centre O et de rayon r = 1. Soit deux rayons OA et OB un arc de θ radians. Puisque nous sommes en considérant la limite θ tend vers zéro, nous pouvons supposer que θ est un petit nombre positif, dire 0 < θ < ½ π dans le premier quadrant.,
dans le diagramme, soit R1 le triangle OAB, R2 le secteur circulaire OAB et R3 le triangle OAC. L’aire du triangle OAB est:
r e ( R 1 ) = 1 2 | O | | O B | sin θ = 1 2 sin θ . {\displaystyle \mathrm {Aire} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} R e ( R 3 ) = 1 2 | O | | C | = 1 2 tan θ . {\displaystyle \mathrm {Aire} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
Since each region is contained in the next, one has:
Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin θ < 1 2 θ < 1 2 tan θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
en Outre, depuis sin θ > 0 dans le premier quadrant, on peut diviser par ½ sin θ, donnant:
1 < θ sin θ < 1 cos θ ⟹ 1 > le péché θ θ > cos θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implique 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}
dans la dernière étape, nous avons pris les réciproques des trois termes positifs, renversant les iniquités.
Nous concluons que, pour 0 < θ < ½ π, la quantité sin(θ)/θ est toujours inférieur à 1 et toujours plus de cos(θ)., Ainsi, lorsque θ se rapproche de 0, sin(θ)/θ est « pressé » entre un plafond à hauteur 1 et un plancher à hauteur cos θ, Qui monte vers 1; donc sin (θ)/θ doit tendre vers 1 car θ tend vers 0 du côté positif:
Lim θ → 0 + sin θ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.,}
Pour le cas où θ est un petit nombre négatif –½ π < θ < 0, nous utilisons le fait que le sinus est impaire:
lim θ → 0 − sin θ θ = lim θ → 0 + sin ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin θ − θ = lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta\à 0^{ -}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.,}
la Limite de (cos(θ)-1)/θ comme θ tend à 0Edit
La dernière section nous permet de calculer cette nouvelle limite relativement facilement. Ceci est fait en utilisant une astuce simple. Dans ce calcul, le signe de θ est sans importance.
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) ( cos θ + 1 cos θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
à l’Aide de cos2θ – 1 = –sin2θ,le fait que la limite d’un produit est le produit des limites, et la limite de résultat de la section précédente, nous constatons que:
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 θ θ ( cos θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin θ θ ) ( lim θ → 0 sin θ cos θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
la Limite de tan(θ)/θ comme θ tend à 0Edit
l’Utilisation de la limite de la fonction sinus, le fait que la fonction tangente est impaire, et le fait que la limite d’un produit est le produit des limites, on trouve:
lim θ → 0 tan θ θ = ( lim θ → 0 sin θ θ ) ( lim θ → 0 1-cos θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
dérivée de la fonction sinusedit
nous calculons la dérivée de la fonction sinusoïdale à partir de la définition limite:
D D θ sin θ θ = Lim δ → 0 sin ((θ + δ ) − sin θ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta) \sin \theta }{\delta }}.,}
à l’Aide de l’angle de plus de la formule sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, nous avons:
d d θ sin θ = lim δ → 0 sin θ cos δ + sin δ cos θ − sin δ θ = lim δ → 0 sin ( δ δ cos θ + cos δ − 1 δ sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).,}
en utilisant les limites des fonctions sinus et cosinus:
D D θ sin θ θ = ( 1 ) cos θ θ + ( 0 ) sin θ θ = cos θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
dérivée de la fonction cosinus
à partir de la définition de dérivation
nous calculons à nouveau la dérivée de la fonction cosinus à partir de la définition limite:
D D θ cos θ θ = Lim δ → 0 cos ((θ + δ ) − cos θ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta) \cos \theta }{\delta }}.}
à l’Aide de l’angle de plus de la formule cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, nous avons:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos θ cos δ − sin θ sin δ − cos δ θ = lim δ → 0 ( cos δ − 1 δ cos θ − sin δ δ sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta\sin \theta \sin \delta\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}
en utilisant les limites des fonctions sinus et cosinus:
D D θ cos θ θ = ( 0 ) cos θ θ − ( 1 ) sin θ θ = − sin θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}
à Partir de la chaîne ruleEdit
Pour calculer la dérivée de la fonction cosinus à partir de la chaîne de la règle, d’abord observer les trois faits suivants:
cos θ = sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} péché θ = cos ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin θ = cos θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \sin \theta =\cos \theta}
la première et la seconde sont des identités trigonométriques, et la troisième est prouvée ci-dessus., En utilisant ces trois faits, nous pouvons écrire ce qui suit,
D D θ cos θ θ = D D θ sin sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ‘( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\thêta}} f\!\ gauche (g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\ gauche (g\!\gauche (\thêta \ droite)\droite)\cdot g^{\prime}\!,\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } .
Par conséquent, nous avons prouvé que
D D θ cos θ θ = − sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta } .
dérivée de la fonction tangentedit
à partir de la définition de dérivationedit
pour calculer la dérivée de la fonction tangente tan θ, Nous utilisons les premiers principes. Par définition:
D D θ tan θ θ = Lim δ → 0 (tan (−θ + δ) – tan θ θ δ). {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta) \tan \theta }{\delta }}\right).}
en utilisant la formule d’angle bien connue tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1-tan α tan β), On A:
D D θ tan θ θ = Lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _{\delta\à 0}\left=\lim _{\delta\à 0} \ left.}
en utilisant le fait que la limite d’un produit est le produit des limites:
D D θ tan θ θ = Lim δ → 0 tan δ δ δ × lim δ → 0 (1 + tan 2 θ θ 1-tan θ θ tan δ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
en utilisant la limite pour la fonction tangente, et le fait que tan δ tend vers 0 Comme δ tend vers 0:
D D θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}
Nous voyons immédiatement que:
d d θ tan θ = 1 + sin 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
à partir de la règle du quotient edit
on peut aussi calculer la dérivée de la fonction tangente en utilisant la règle du quotient.,
d d θ tan θ = d d θ sans θ cos θ = ( sans θ ) ‘⋅ cos θ − sin θ ⋅ ( cos θ ) ‘ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
Le numérateur peut être simplifié à 1 par le Pythagoricien identité, en nous donnant,
1 cos 2 θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
Donc,
d d θ tan θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }
Leave a Reply