Differentiering af trigonometriske funktioner

Grænse for sin(θ)/θ da θ har en tendens til at 0Edit

diagrammet til højre viser en cirkel med centrum O og radius r = 1. Lad to radier OA og OB gøre en bue af radi radianer. Da vi overvejer grænsen som θ tendens til nul, kan vi antage θ er et lille positivt tal, siger 0 <

i diagrammet, lad R1 være trekanten OAB, R2 den cirkulære sektor OAB, og R3 trekanten OAC. Arealet af trekant OAB er: A R E A ( R 1 ) = 1 2 | O A | | O B / sin ⁡ = = 1 2 sin⁡.. {\displaystyle \mathrm {Området} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\synd \theta ={\tfrac {1}{2}}\synd \theta \,.} A R E A (R 3 ) = 1 2 | O A | | A C | = 1 2 tan θ.. {\displaystyle \mathrm {Området} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

da synd θ > 0 i første kvadrant, kan vi dividere igennem med ½ synd θ, hvilket giver:

1 < θ synd ⁡ θ < 1 cos ⁡ θ ⟹ 1 > synd ⁡ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\synd \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\indebærer, at 1>{\frac {\synd \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}

i det sidste skridt tog vi reciprocals af de tre positive termer, vende uligheder.

Vi konkludere, at for 0 < θ < ½ π, den mængde, sin(θ)/θ er altid mindre end 1, og altid større end cos(θ)., Således som closer kommer tættere på 0, sin ())/is er “presset” mellem et loft i højden 1 og et gulv i højden cos cos, som stiger i retning af 1; dermed sin ())/must skal have tendens til 1 som tends tendens til 0 fra den positive side:

lim 0 0 0 + sin ⁡ = = = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ til 0^{ + }} {\frac {\sin \ theta }{\theta }}=1\,.,}

i tilfælde, hvor θ er et lille negativt tal –½ π < θ < 0, bruger vi det faktum, at sinus er en ulige funktion:

lim θ → 0 − synd ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − synd ⁡ θ − θ = lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ til 0^{ -}}\!{\frac {\sin \ theta } {\theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ til 0^{+}}\!{\frac {\sin (- \theta )} {- \theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ til 0^{+}}\!{\frac {- \sin \ theta } {- \theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ til 0^{+}}\!{\frac {\sin \ theta }{\theta }}\ =\ 1\,.,}

grænse på (cos ()) -1)/as som tends tendens til 0Edit

det sidste afsnit gør det muligt for os at beregne denne nye grænse relativt nemt. Dette gøres ved at anvende et simpelt trick. I denne beregning er tegnet på θ ubetydeligt.

lim 0 0 0 cos 0 0 − 1 = = lim 0 0 0 ( cos.. − 1.) (cos. + + 1 cos. + + 1) = lim 0 0 0 cos 2. − 1. (cos. + + 1). {\displaystyle \lim _{\theta \0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\venstre ({\frac {\cos \ theta + 1}{\cos \ theta + 1}} \ højre)\ = \ \ lim _{\theta \ til 0}\, {\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}

ved Hjælp af cos2θ – 1 = –sin2θ,det faktum, at grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne, og den grænse resultatet fra forrige afsnit, finder vi, at:

lim θ → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 synd ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 synd ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0}\,{\frac {-\synd ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \0}{\frac {\synd \theta }{\theta }}\right)\!,\venstre (\lim _{\theta \ til 0}\, {\frac {\sin \ theta } {\cos \ theta + 1}} \ højre)\ = \(-1)\venstre({\frac {0}{2}}\højre)=0\,.}

Grænse for tan(θ)/θ da θ har en tendens til at 0Edit

ved Hjælp af grænsen for sinus-funktionen, den omstændighed, at tangens funktion er ulige, og det faktum, at grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne, finder vi:

lim θ → 0 tan ⁡ θ θ = ( lim θ → 0 synd ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos ⁡ θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \0}{\frac {\synd \theta }{\theta }}\right)\!,\venstre (\lim _{\theta \ til 0}{\frac {1} {\cos \ theta }} \ højre)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

derivat af sinusfunktionendit

Vi beregner derivatet af sinusfunktionen fra grænsedefinitionen:

d d sin sin ⁡ = = lim 0 0 0 sin ⁡ ( 0+.) − sin⁡… det er en god id!.\theta }}\, \ sin \ theta =\lim _{\delta \ til 0}{\frac {\sin (\theta + \ delta) – \sin \theta }{\delta }}.,}

Brug den vinkel over formlen sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, har vi:

d d θ synd ⁡ θ = lim δ → 0 synd ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ∆ = lim δ → 0 ( synd ⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ synd ⁡ θ ) . det er en god id!.\theta }}\,\synd \theta =\lim _{\delta \0}{\frac {\synd \theta \cos \delta +\synd \delta \cos \theta -\synd \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \0}\left({\frac {\synd \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\synd \theta \right).,}

Ved hjælp af grænserne for sinus og cosinus funktioner:

d d sin sin sin = = (1 ) cos. + + (0 ) sin ⁡ = = cos… det er en god id!.\theta }}\, \ sin \ theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}

derivat af cosinus functionEdit

fra definitionen af derivativedit

beregner vi igen derivatet af cosinusfunktionen fra grænsedefinitionen:

d d cos cos. = = lim 0 0 0 cos. (0+.) − cos…. det er en god id!.,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}

Brug den vinkel over formlen cos(α+β) = cos α cos β – sin α synd β, har vi:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − synd ⁡ θ synd ⁡ δ − cos ⁡ θ ∆ = lim δ → 0 ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ synd ⁡ θ ) . det er en god id!.,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\synd \theta \synd \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\synd \delta }{\delta }}\synd \theta \right).}

Ved hjælp af grænserne for sinus og cosinus funktioner:

d d cos cos. = = (0 ) cos.. − (1 ) sin⁡. = − sin… det er en god id!.\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\synd \theta =-\synd \theta \,.,}

Fra kæden ruleEdit

for At beregne differentialkvotienten af cosinus-funktion fra kæden regel først overhold følgende tre kendsgerninger:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\synd \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} synd ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \synd \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ synd ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\synd \theta =\cos \theta }

Den første og den anden er trigonometriske identiteter, og den tredje er bevist ovenfor., Ved hjælp af disse tre kendsgerninger, kan vi skrive følgende,

d d θ cos ⁡ θ = d θ synd ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\synd \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ‘( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\venstre(g\!\venstre (\theta \ højre)\højre)=f^{\prime }\!\venstre(g\!\venstre (\theta \ højre) \ højre)\cdot g^{\prime }\!,\venstre (\theta \højre)=\cos \venstre ({\tfrac {\pi }{2}} – \theta \ højre)\cdot (0-1)=-\sin \theta } . derfor har vi bevist, at d d cos cos = = = − sin {{{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \ theta } .

derivat af tangentfunktionendit

fra definitionen af derivativedit

for at beregne derivatet af tangentfunktionen tan.bruger vi første principper. Per definition:

d d tan tan = = = lim 0 0 0 ( tan (( + + )) − tan..)). det er en god id!.,\theta }}\, \tan \ theta =\lim _{\delta \ til 0} \ venstre ({\frac {\tan (\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\højre).}

Ved hjælp af den velkendte vinkelformel tan (++β) = (tan + + tan β) / (1 – tan α tan β) har vi:

d d tan tan = = = lim 0 0 0 = lim 0 0 0 . det er en god id!.\theta }}\, \tan \ theta =\lim _{\delta \ til 0}\venstre= \ lim _{\delta \ til 0}\venstre.}

anvendelse af det faktum, at grænsen for et produkt er produktet af de grænser:

d d tan tan = = = lim 0 0 0 tan ⁡ 0 li li lim 0 0 0 ( 1 + tan 2 ⁡ 1 1 − tan tan tan tan)))., det er en god id!.\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}

Ved hjælp af grænsen for tangenten funktion, og det faktum, at tan tends tendens til 0 som tends tendens til 0:

d d tan tan tan = = 1 1 1 + tan 2 ⁡ 1 1 − 0 = 1 + tan 2… det er en god id!.\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}

ser Vi straks, at:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sek 2 ⁡ θ . det er en god id!.\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\synd ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\synd ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sek ^{2}\theta \,.}

fra kvotientreglenedit

kan man også beregne derivatet af tangentfunktionen ved hjælp af kvotientreglen.,

d d θ tan ⁡ θ = d θ uden ⁡ θ cos ⁡ θ = ( uden ⁡ θ ) ‘⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ) ‘ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\synd \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\synd \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\synd \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\synd ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}

tælleren kan forenkles til 1 af Pythagoras ‘ identitet, og giver os

1 cos 2 ⁡ θ = sek 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sek ^{2}\theta }

Derfor,

d d θ tan ⁡ θ = sek 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \ theta =\sec ^{2}\theta }