Differentiatie van trigonometrische functies

grens van sin(θ)/θ Als θ neigt naar 0Edit

het diagram rechts toont een cirkel met middelpunt o en straal R = 1. Laat twee radii OA en OB een boog van θ radialen maken. Aangezien we de limiet beschouwen als θ neigt naar nul, kunnen we aannemen dat θ een klein positief getal is, bijvoorbeeld 0 < θ < ½ π in het eerste kwadrant.,

in het diagram is R1 de driehoek OAB, R2 de cirkelvormige sector OAB, en R3 de driehoek OAC. De oppervlakte van driehoek OAB is:

A r e a ( R 1) = 1 2 | O A | | O B | sin θ θ = 1 2 sin θ θ . {\displaystyle\mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\|OB|\sin\theta ={\tfrac {1}{2}} \sin \theta\,.} A r e a (R 3) = 1 2 | O A | | A C | = 1 2 tan θ θ . {\displaystyle\mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\|AC|={\tfrac {1}{2}} \tan \theta\,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

bovendien, aangezien sin θ > 0 in het eerste kwadrant, kunnen we delen door ½ sin θ, wat resulteert in:

1 < θ sin θ θ < 1 cos θ θ 1 1 > sin θ θ θ > cos θ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\impliceert 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}

in de laatste stap namen we de reciproken van de drie positieve termen, het omkeren van de ongelijkheden.

we concluderen dat Voor 0 < θ < ½ π, de hoeveelheid sin(θ)/θ is altijd kleiner dan 1 en altijd groter dan cos(θ)., Dus, als θ dichter bij 0 komt, wordt sin(θ)/θ “geperst” tussen een plafond op hoogte 1 en een vloer op hoogte cos θ, Die stijgt naar 1; vandaar dat sin (θ)/θ moet neigen naar 1 zoals θ neigt naar 0 van de positieve kant:

lim θ → 0 + sin θ θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _ {\theta \to 0^{ + }} {\frac {\sin\theta} {\theta }}=1\,.,}

voor het geval waarin θ een klein negatief getal is –½ π < θ < 0, gebruiken we het feit dat sinus een oneven functie is:

lim θ → 0 − sin θ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ (−θ ) − θ = Lim θ → 0 + − sin θ θ − θ = Lim θ → 0 + sin θ θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _ {\theta \to 0^{ -}}\!{\frac {\sin \ theta }{\theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {\sin (- \theta)} {- \theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {- \sin \ theta } {- \theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {\sin \ theta }{\theta }} \ = \ 1\,.,}

limiet van (cos (θ) -1)/θ aangezien θ neigt naar 0Edit

de laatste sectie stelt ons in staat om deze nieuwe limiet relatief gemakkelijk te berekenen. Dit wordt gedaan door het gebruik van een eenvoudige truc. In deze berekening is het teken θ onbelangrijk.

lim θ → 0 cos θ θ – 1 θ = lim θ → 0 (cos θ θ-1 θ) (cos θ θ + 1 cos θ θ + 1) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ (cos θ θ + 1). {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0}\, {\frac {\cos \ theta -1}{\theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ to 0} \ left ({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\ left ({\frac {\cos \ theta +1} {\cos \theta +1}}\right)\ = \ \ lim _{\theta \ to 0}\, {\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1}{\theta \, (\cos \ theta +1)}}.}

met Behulp van de cos2θ – 1 = –sin2θ,het feit dat de limiet van een product is het product van grenzen, en het maximum resultaat uit de vorige paragraaf, vinden we dat:

lim-ε → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = lim-ε → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − lim-ε → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim-ε → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0}\, {\frac {\cos \ theta -1}{\theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ to 0}\, {\frac {- \sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \ theta +1)}} \ = \ \ left (- \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\ left (\lim _{\theta \ to 0}\, {\frac {\sin \ theta } {\cos \ theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}

limiet van tan (θ)/θ aangezien θ neigt naar 0Edit

gebruikmakend van de limiet voor de sinusfunctie, het feit dat de tangens functie oneven is, en het feit dat de limiet van een product het product van limieten is, vinden we:

lim θ → 0 tan θ θ θ = (lim θ → 0 sin θ θ θ) (lim θ → 0 1 cos θ θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0} {\frac {\tan \ theta }{\theta }} \ = \ \ left (\lim _{\theta \ to 0} {\frac {\sin \theta }{\theta }} \ right)\!,\left (\lim _{\theta \ to 0} {\frac {1} {\cos \theta }} \ right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

afgeleide van de sinusfunctiedit

we berekenen de afgeleide van de sinusfunctie uit de limietdefinitie:

d D θ sin θ θ = lim δ → 0 sin ⁡ (θ + δ ) − sin θ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ sin \ theta = \ lim _{\delta \ to 0} {\frac {\sin (\theta + \ delta) – \sin \theta }{\delta }}.,}

met Behulp van de hoek naast de formule sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, hebben we:

d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ = lim δ → 0 sin (⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ sin \theta = \ lim _{\delta \ to 0} {\frac {\sin \ theta \ cos \ delta +\sin \delta \cos \ theta – \sin \ theta} {\delta }} = \lim _{\delta \ to 0} \ left ({\frac {\sin \ delta } {\delta }} \ cos \theta +{\frac {\cos \ delta -1} {\delta }}\sin \ theta \ right).,}

gebruikmakend van de limieten voor de sinus-en cosinusfuncties:

d D θ sin θ θ = ( 1 ) cos θ θ + ( 0 ) sin θ θ = cos θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ sin \ theta =(1) \ cos \ theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}

afgeleide van de cosinusfunctieedit

uit de definitie van derivativedit

berekenen we opnieuw de afgeleide van de cosinusfunctie uit de limietdefinitie:

d D θ cos θ θ = lim δ → 0 cos ⁡ (θ + δ ) − cos θ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!,\theta }}\, \ cos \theta = \ lim _{\delta \ to 0} {\frac {\cos (\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}

met Behulp van de hoek naast de formule cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, hebben we:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − sin ⁡ θ sin ⁡ δ − cos ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}

gebruikmakend van de limieten voor de sinus − en cosinusfuncties:

d D θ cos θ θ = ( 0 ) cos θ θ − (1 ) sin θ θ = – sin θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ cos \theta =(0) \ cos \theta – (1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}

Van de keten ruleEdit

Voor het berekenen van de afgeleide van de functie cosinus van de kettingregel, eerst aandachtig de volgende drie feiten:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} sin ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ sin \ theta = \ cos \ theta }

de eerste en de tweede zijn trigonometrische identiteiten, en de derde is hierboven bewezen., Met behulp van deze drie feiten kunnen we het volgende schrijven:

d D θ cos θ θ = d D θ sin ⁡ (π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ cos \theta ={\tfrac {\operatornaam {d} } {\operatornaam {d} \!\theta }} \ sin \ left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d D θ f ( G ( θ ) ) = f ‘(G ( θ ) ) ⋅ g ‘ (θ ) = cos ⁡ (π 2 − θ) ⋅ (0 − 1 ) = − sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta}} f\!\links (g\!\ left (\theta \ right) \ right) = f^{\prime }\!\links (g\!\ left (\theta \ right) \ right)\cdot g^{\prime }\!,\ left (\theta \ right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } .

daarom hebben we bewezen dat

d D θ cos θ θ = – sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }} \ cos \ theta =- \ sin \theta } .

afgeleide van de raakfunctie

uit de definitie van derivativeEdit

om de afgeleide van de raakfunctie tan θ te berekenen, gebruiken we eerste principes. Per definitie:

d D θ tan θ θ = lim δ → 0 ( tan ⁡ (θ + δ ) − tan θ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!,\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _{\delta \ to 0} \ left ({\frac {\tan (\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }} \ right).}

met de bekende hoekformule tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β) hebben we:

d D θ tan θ θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \theta = \ lim _{\delta \ to 0} \ left = \lim _{\delta \ to 0} \ left.}

gebruikmakend van het feit dat de grenswaarde van een product het product is van de grenswaarden:

d D θ tan θ θ = lim δ → 0 tan δ δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ θ 1 − tan θ θ tan δ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _{\delta\to 0} {\frac {\tan\delta} {\delta}} \times\lim _{\delta\to 0}\left ({\frac {1+\Tan ^{2}\theta }{1- \ tan \ theta \ tan \ delta }} \ right).}

gebruikmakend van de grens voor de raakfunctie, en het feit dat tan δ naar 0 neigt zoals δ naar 0 neigt:

d D θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \ theta = 1 \ times {\frac {1+ \ Tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}

We zien onmiddellijk dat:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \ theta = 1 + {\frac {\sin ^{2}\theta } {\cos ^{2}\theta }} ={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}

uit de quotiëntregeldit

kan men ook de afgeleide van de tangentfunctie berekenen met behulp van de quotiëntregel.,

d d θ tan ⁡ θ = d d θ zonder ⁡ θ cos ⁡ θ = ( zonder ⁡ θ ) ‘⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ) ‘ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatornaam {d} } {\operatornaam {d}\!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta} {\displaystyle {\frac {1} {\cos ^{2}\theta}} = \sec ^{2}\theta}

daarom,

D D θ tan θ θ =sec 2 θ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta }} \ tan \ theta = \ sec ^{2}\theta }