의 차별화된 삼각 기능을

제한 죄의(θ)/θ 로 θ 하는 경향이 0Edit

오른쪽 그림을 보여줍 원 centre O 과 반경이 r=1. 두 개의 반지름 OA 와 OB 가 θ 라디안의 호를 만들도록하십시오. 때문에 우리는 고려한 제한으로 θ 제로하는 경향이있다,우리는 것이라고 생각할 수 있습 θ 는 작은 긍정적 인수,말 0<θ<½π 에서 첫 번째 quadrant.,

다이어그램에서 r1 이 삼각형 OAB,R2 원형 섹터 OAB 및 r3 삼각형 OAC 가되도록하십시오. 삼각형 OAB 의 면적은 다음과 같습니다.

A r e a(R1)=1 2|O A||O B|sin⁡ θ=1 2sin⁡ θ. {\displaystyle\mathrm{지역}(R_{1})={\tfrac{1}{2}}\|OA|\|OB|\죄\타={\tfrac{1}{2}}\죄\타\,.}A r e a(R3)=1 2|O A||A C|=1 2tan⁡ θ. {\displaystyle\mathrm{Area}(R_{3})={\tfrac{1}{2}}\|OA|\/AC|={\tfrac{1}{2}}\tan\theta\,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

또한,이후 죄 θ>0 에서 첫 번째 사분면,우리는 나눌 수 있습을 통하여½죄 θ,giving:

1<θ 죄⁡θ<1cos⁡θ⟹1>sin⁡θ θ>cos⁡θ. {\displaystyle1<{\frac{\타}{\죄\타}}<{\frac{1}{\cos\타}}\의미 1>{\frac{\죄\타}{\타}}>\cos\타\,.,}

마지막 단계에서 우리는 불평등을 역전시키는 세 가지 긍정적 인 용어의 상호 관계를 취했다.

우리는 결론에 대한 0<θ<½π,수량 sin(θ)/θ 은 항상 1 보다 작은 항상보다 더 큰 cos(θ)., 따라서,θ 를 0,sin(θ)/θ 은”압착하”사이에는 천장에서 높이는 1 층에서 높이 cos θ 상승으로 1;따라서 죄(θ)/θ 해야 하는 경향이 1 로 θ 하는 경향이있 0 에서 긍정적인 측면:

lim θ→0+죄⁡θ θ=1. {\displaystyle\lim_{\theta\to0^{+}}{\frac{\sin\theta}{\theta}}=1\,.,}

경우 θ 는 작은 음수는–½π<θ<0,우리가 사용하는 사실인가 이상한 기능:

lim θ→0−sin⁡θ θ=lim θ→0+죄⁡(−θ) −θ=lim θ→0+−sin⁡θ−θ=lim θ→0+죄⁡θ θ=1. {\displaystyle\lim_{\theta\to0^{-}}\!{\frac{\sin\theta}{\theta}}\=\\lim_{\theta\to0^{+}}\!{\frac{\sin(-\theta)}{-\theta}}\=\\lim_{\theta\to0^{+}}\!{\frac{-\sin\theta}{-\theta}}\=\\lim_{\theta\to0^{+}}\!{\frac{\sin\theta}{\theta}}\=\1\,.,}

(cos(θ)-1)/θ 의 한계 θ 는 0edit

마지막 섹션에서이 새로운 한계를 비교적 쉽게 계산할 수 있습니다. 이것은 간단한 트릭을 사용하여 수행됩니다. 이 계산에서 θ 의 부호는 중요하지 않습니다.

lim θ→0cos⁡θ−1θ=lim θ→0(cos⁡θ−1θ)(cos⁡θ+1cos⁡θ+1)=lim θ→0cos2θ−1θ(cos⁡θ+1)입니다. {\displaystyle\lim_{\theta\to0}\,{\frac{\cos\theta-1}{\theta}}\=\\lim_{\theta\to0}\left({\frac{\cos\theta-1}{\theta}}\right)\!\!\left({\frac{\cos\타+1}{\cos\타+1}}\right)\=\\lim_{\타\0}\,{\frac{\cos^{2}\!,\세타 -1}{\세타\,(\cos\세타+1)}}.}

를 사용하여 cos2θ–1=–sin2θ,사실의 제한 제품은 제품의 제한,제한 결과에서는 이전 섹션에서,우리는 우리를 찾는다.

lim θ→0cos⁡θ−1θ=lim θ→0−sin2⁡θ θ(cos⁡θ+1)=(−lim θ→0 죄⁡θ θ)(lim θ→0 죄⁡θ cos⁡θ+ 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle\lim_{\theta\to0}\,{\frac{\cos\theta-1}{\theta}}\=\\lim_{\theta\to0}\,{\frac{-\sin^{2}\theta}{\theta(\cos\theta+1)}}\=\\left(-\lim_{\theta\to0}{\frac{\sin\theta}{\theta}}\right)\!,\left(\lim_{\theta\to0}\,{\frac{\sin\theta}{\cos\theta+1}}\right)\=\(-1)\left({\frac{0}{2}}\right)=0\,.}

제한의 탄(θ)/θ 로 θ 하는 경향이 0Edit

사용에 대한 제한 사인 함수는 사실을 접하는 기능이 이상한,사실의 제한 제품은 제품의 제한,우리는 발견한다.

lim θ→0 탄⁡θ θ=(lim θ→0 죄⁡θ θ)(lim θ→0 1cos⁡θ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle\lim_{\theta\to0}{\frac{\tan\theta}{\theta}}\=\\left(\lim_{\theta\to0}{\frac{\sin\theta}{\theta}}\right)\!,이 경우 세타에서 세타까지의 거리를 계산할 수 있습니다.)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

파생물의 사인 functionEdit

우리는 우리로 계산 파생물의 사인 함수에서 정의 제한:

d d θ 죄⁡θ=lim δ→0 죄⁡(θ+δ)−죄⁡θ δ. 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\theta}}\,\sin\theta=\lim_{\delta\to0}{\frac{\sin(\theta+\delta)-\sin\theta}{\delta}}.,}

를 사용하여 각도에 또한 공식 sin(α+β)=죄 α cos β+죄 β cos α,우리는 가지고 있습니다:

d d θ 죄⁡θ=lim δ→0 죄⁡θ cos⁡δ+죄⁡δ cos⁡θ−sin⁡θ δ=lim δ→0(sin⁡δ δ cos⁡θ+cos⁡δ−1δ 죄⁡θ). 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\타}}\,\죄\타=\lim_{\delta\0}{\frac{\죄\타\cos\델타+\죄\delta\cos\타-\죄\타}{\델타}}=\lim_{\delta\0}\left({\frac{\죄\델타}{\델타}}\cos\타+{\frac{\cos\델타 -1}{\델타}}\죄\타\right).,}

사인 및 코사인 함수의 한계를 사용하여:

d d θ sin⁡ θ=(1)cos⁡ θ+(0)sin⁡ θ=cos⁡ θ. 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\세타}}\,\죄\세타=(1)\왜냐하면\세타+(0)\죄\세타=\왜냐하면\세타\,.}

의 유도체 코사인 functionEdit

의 정의에서 derivativeEdit

우리는 다시 계산의 유도체 코사인 기능을 한도에서 정의

d d θ cos⁡θ=lim δ→0cos⁡(θ+δ)−cos⁡θ δ. 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.,그러나 나는 이것이 우리가하는 일이 아니라는 것을 알고 있습니다.}

를 사용하여 각도에 또한 공식 cos(α+β)=cos α cos β–sin α 죄 β 이 포함되어 있습니다.

d d θ cos⁡θ=lim δ→0cos⁡θ cos⁡δ−sin⁡θ 죄⁡δ−cos⁡θ δ=lim δ→0(cos⁡δ−1δ cos⁡θ−sin⁡δ δ 죄⁡θ). 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.,\타}}\,\cos\타=\lim_{\delta\0}{\frac{\cos\타\cos\delta-\죄\타\죄\delta-\cos\타}{\델타}}=\lim_{\delta\0}\left({\frac{\cos\델타 -1}{\델타}}\cos\타\,-\,{\frac{\죄\델타}{\델타}}\죄\타\right).}

사인 및 코사인 함수의 한계를 사용하여:

d d θ cos⁡ θ=(0)cos⁡ θ-(1)sin⁡ θ=−sin⁡ θ. 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\theta}}\,\cos\theta=(0)\cos\theta-(1)\sin\theta=-\sin\theta\,.,}

체인에서 ruleEdit

을 계산의 유도체 코사인 함수에서 사슬 규칙에 관해 다음과 같은 세 가지 사실

cos⁡θ=죄⁡(π2−θ){\displaystyle\cos\타=\죄\left({\tfrac{\pi}{2}}-\타\오른쪽)}죄⁡θ=cos⁡(π2−θ) {\displaystyle\죄\타=\cos\left({\tfrac{\pi}{2}}-\타\오른쪽)}d d θ 죄⁡θ=cos⁡θ{\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}}\sin\theta=\cos\theta}

첫 번째와 두 번째는 삼각 정체성이며 세 번째는 위에서 입증되었습니다., 를 사용하여 이러한 세 가지 사실을,우리는 쓸 수 있습니다.

d d θ cos⁡θ=d d θ 죄⁡(π2−θ){\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!나는 이것이 작동 할 수있는 유일한 방법이라고 생각합니다.\타}}\죄\left({\tfrac{\pi}{2}}-\타\오른쪽)}d d θ f(g(θ))=f(g(θ))⋅g'(θ)=cos⁡(π2−θ)⋅(0−1)=죄⁡θ{\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\세타}}에프\!\왼쪽(g\!이 경우 두 가지 방법이 있습니다.\왼쪽(g\!그러나 나는 그것을 할 수 없다.,\left(\theta\right)=\cos\left({\tfrac{\pi}{2}}-\theta\right)\cdot(0-1)=-\sin\theta}.

그러므로 우리는

d d θ cos⁡ θ=−sin⁡ θ{\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\세타}}\왜냐하면\세타=-\죄\세타}.

접선 함수의 파생어

derivativeEdit 의 정의에서

접선 함수 tan θ 의 파생어를 계산하려면 첫 번째 원칙을 사용합니다. 정의상:

d d θ tan⁡ θ=lim δ→0(tan⁡(θ+δ)−tan⁡ θ δ). 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.,\theta}}\,\tan\theta=\lim_{\delta\to0}\left({\frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta}}\right).}

잘 알려진 각도 공식 tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α tan β)을 사용하여 다음과 같습니다.

d d θ tan⁡ θ=lim δ→0=lim δ→0. 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\theta}}\,\tan\theta=\lim_{\delta\to0}\left=\lim_{\delta\to0}\left.}

를 사용하는 사실의 제한 제품은 제품의 제한:

d d θ 탄⁡θ=lim δ→0 탄⁡δ δ×lim δ→0(1+탄 2⁡θ1−탄⁡θ 탄⁡δ)., 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\theta}}\,\tan\theta=\lim_{\delta\to0}{\frac{\tan\delta}{\delta}}\times\lim_{\delta\to0}\left({\frac{1+\tan^{2}\theta}{1-\tan\theta\tan\delta}}}\right).}

를 사용하여 제한을 접수,그리고 사실에는 탄 δ 하는 경향이있 0 로 δ 하는 경향이있 0:

d d θ 탄⁡θ=1×1+탄 2⁡θ1−0=1+탄 2⁡θ. 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\theta}}\,\tan\theta=1\times{\frac{1+\tan^{2}\theta}{1-0}}=1+\tan^{2}\theta.,}

우리는 즉시 즉:

d d θ 탄⁡θ=1+죄 2⁡θ cos2⁡θ=cos2⁡θ+죄 2⁡θ cos2⁡θ=1cos2⁡θ=sec2⁡θ. 나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.\타}}\,\탄\타=1+{\frac{\죄^{2}\타}{\cos^{2}\타}}={\frac{\cos^{2}\타+\죄^{2}\타}{\cos^{2}\타}}={\frac{1}{\cos^{2}\타}}=\sec^{2}\타\,.}

지수 규칙으로부터

지수 규칙을 사용하여 탄젠트 함수의 파생어를 계산할 수도 있습니다.,

d d θ 탄⁡θ=d d θ 없이⁡θ cos⁡θ=(없이⁡θ)’⋅cos⁡θ−sin⁡θ⋅(cos⁡θ)’cos2⁡θ=cos2⁡θ+죄 2⁡θ cos2⁡θ{\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!나는 이것이 작동 할 수있는 유일한 방법이라고 생각합니다.,\타}}{\frac{\죄\타}{\cos\타}}={\frac{\left(\죄\타\오른쪽)^{\prime}\cdot\cos\타-\죄\타\cdot\left(\cos\타\오른쪽)^{\prime}}{\cos^{2}\타}}={\frac{\cos^{2}\타+\죄^{2}\타}{\cos^{2}\타}}}

분자 단순화할 수 있습 1 여 피타고라스의 정체성,우리에게

1cos2⁡θ=sec2⁡θ{\displaystyle{\frac{1}{\cos^{2}\타}}=\sec^{2}\타}

따라서,

d d θ 탄⁡θ=sec2⁡θ{\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\세타}}\탄\세타=\초^{2}\세타 }