Diferenciace goniometrické funkce

Limit sin(θ)/θ as θ má tendenci 0Edit

schéma na pravé straně zobrazuje kružnice se středem v O a poloměrem r = 1. Nechte dva poloměry OA a OB vytvořit oblouk θ radiánů. Od té doby jsme s ohledem na omezení, jako θ k nule, můžeme předpokládat, že θ je malé kladné číslo, řekněme 0 < θ < ½ π v prvním kvadrantu.,

v diagramu nechť R1 je trojúhelník OAB, R2 Kruhový sektor OAB a R3 trojúhelník OAC. Oblast trojúhelníku OAB je:

A r e a (R 1 ) = 1 2 | O A | | O B | sin θ θ = 1 2 sin θ θ . {\displaystyle \mathrm {Oblast} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} A r e a (R 3 ) = 1 2 / O A / / A C / = 1 2 tan θ θ . {\displaystyle \mathrm {Oblast} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Navíc, protože sin θ > 0 v prvním kvadrantu, můžeme rozdělit přes ½ sin θ, což:

1 < θ sin ⁡ θ < 1 cos ⁡ θ ⟹ 1 > sin ⁡ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\znamená 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}

v posledním kroku jsme udělali reciproční tři pozitivní termíny, zvrátit nerovnosti.

došli Jsme k závěru, že pro 0 < θ < ½ π, množství sin(θ)/θ je vždy menší než 1 a vždycky větší než cos(θ)., Tak, jako θ dostane blíže k 0, sin(θ)/θ je „vymačkané“ mezi stropem ve výšce 1 a podlaha ve výšce cos θ, která se tyčí směrem k 1, a proto sin(θ)/θ musí mít tendenci k 1 θ má tendenci k 0 z pozitivního straně:

lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _ {\theta \to 0^{ + }} {\frac {\sin \ theta } {\theta } = 1\,.,}

Pro případ, kdy θ je malé záporné číslo –½ π < θ < 0, můžeme využít skutečnosti, že sinus je lichá funkce:

lim θ → 0 − sin ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin ⁡ θ − θ = lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0^{ -}}\!{\frac {\sin \ theta } {\theta }} \ = \ lim _ {\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin (- \theta)} {- \theta }} \ = \ lim _ {\theta \to 0^{ + }}\!{\frac {- \sin \ theta } {- \theta }} \ = \ lim _ {\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \ theta } {\theta }} \ = \ 1\,.,}

Limit (cos (θ) -1) / θ as θ má tendenci 0edit

poslední část nám umožňuje relativně snadno vypočítat tento nový limit. To se provádí pomocí jednoduchého triku. V tomto výpočtu je znaménko θ nedůležité.

Lim θ → 0 cos θ θ-1 θ = Lim θ → 0 (cos θ θ-1 θ) (cos θ θ + 1 cos θ θ + 1) = Lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ (cos θ θ + 1). {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,theta -1} {\theta \, (\cos \ theta +1)}}.}

Pomocí cos2θ – 1 = –sin2θ,skutečnost, že mezní produkt je produktem limity a limit výsledek z předchozí části, zjistíme, že:

lim θ → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\ left (\lim _{\theta \ to 0}\, {\frac {\sin \ theta } {\cos \ theta +1}} \ right) \ = \ (-1) \ left ({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}

Limit tan(θ)/θ as θ má tendenci 0Edit

Pomocí limit pro funkce sinus, skutečnost, že funkce tangens je lichá, a skutečnost, že mezní produkt je produktem limity, najdeme:

lim θ → 0 tan ⁡ θ θ = ( lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos ⁡ θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\ left (\lim _{\theta \ to 0} {\frac {1} {\cos \ theta }} \ right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

derivát sinusové funkceedit

vypočteme derivaci sinusové funkce z mezní definice:

d θ sin θ θ = Lim δ → 0 sin ⁡ (θ + δ) – sin θ θ δ. {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!theta}}\, \ sin \ theta = \ lim _ {\delta \to 0} {\frac {\sin (\theta +\delta)- \sin\theta} {\delta }}.,}

Pomocí úhlu toho vzorce sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, máme:

d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( sin ⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).,}

pomocí limitů pro funkce sinus a kosinus:

d θ sin θ θ = (1 ) cos θ θ + ( 0) sin θ θ = cos θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\, \ sin \theta =(1) \cos\theta +(0) \sin\theta =\cos \theta\,.}

Derivace kosinus functionEdit

Z definice derivativeEdit

opět Jsme se vypočítat derivaci funkce kosinus z omezení definice:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ ( θ + δ ) − cos ⁡ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!,theta}}\, \ cos \ theta = \ lim _ {\delta \to 0} {\frac {\cos (\theta +\delta)- \cos\theta} {\delta }}.}

Pomocí úhlu toho vzorce cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, máme:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − sin ⁡ θ sin ⁡ δ − cos ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}

pomocí limitů pro funkce sinus a kosinus:

d θ cos θ θ = (0 ) cos θ θ − ( 1) sin θ θ = − sin θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\, \ cos \theta =(0) \ cos \ theta – (1) \sin\theta =- \sin \theta\,.,}

Z řetězce ruleEdit

Chcete-li vypočítat derivaci funkce kosinus z řetězce pravidlo, první dodržovat následující tři skutečnosti:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} sin ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ sin \ theta = \ cos \ theta }

první a druhá jsou trigonometrické identity a třetí je prokázána výše., Pomocí těchto tří faktů můžeme napsat následující,

D θ cos θ θ = d θ sin ⁡ (π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d}!\theta }} \ cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ‚( g ( θ ) ) ⋅ g ‚ ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!theta } f!\ left (g\!\ left (\theta\right)\right)=f^{\prime}\!\ left (g\!\ left (\theta\right)\right)\cdot g^{\prime}\!,\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } .

proto jsme prokázali, že

d θ cos θ θ = – sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}!theta }} \ cos \ theta = – \ sin \theta } .

Derivace tečné functionEdit

Z definice derivativeEdit

vypočítat derivaci funkce tangens tan θ, můžeme použít první principy. Podle definice:

d θ tan θ θ = Lim δ → 0 ( tan ⁡ (θ + δ ) − tan θ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!,\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}

pomocí známého úhlového vzorce tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β) máme:

d θ tan θ θ = Lim δ → 0 = Lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _{\delta \ to 0} \ left= \ lim _ {\delta \ to 0}\left.}

za použití skutečnosti, že limit produktu je součinem mezí:

d θ tan θ θ = Lim δ → 0 tan δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ θ 1 − tan θ θ tan δ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}

použití limitu pro tangentní funkci a skutečnost, že tan δ má tendenci k 0 jako δ, má tendenci k 0:

d θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\, \ tan \ theta =1 \ times {\frac {1+ \ tan ^{2} \ theta }{1-0}} = 1+ \ tan ^{2} \ theta .,}

vidíme okamžitě, že:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}

Z kvocient ruleEdit

Jeden může také vypočítat derivaci funkce tangens pomocí kvocient pravidlo.,

d d θ tan ⁡ θ = d d θ bez ⁡ θ cos ⁡ θ = ( bez ⁡ θ ) ‚⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ), protože 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}

čitatel může být zjednodušen na 1 Pythagorean identity, což nás,

1, protože 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }

Proto,

d d θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta = \ sec ^{2} \ theta }