Diferenciação de funções trigonométricas

Limite de sin(θ)/θ como θ tende para 0Edit

O diagrama à direita mostra um círculo com centro O e raio r = 1. Deixe dois radii OA e OB fazer um arco de θ radians. Uma vez que estamos considerando o limite θ tende a zero, podemos assumir que θ é um pequeno número positivo, dizem que 0 < θ < ½ π no primeiro quadrante.,

no diagrama, deixe R1 ser o triângulo OAB, R2 o setor circular OAB, e R3 o triângulo OAC. A área do triângulo Orbe é:

a r e a (R 1 ) = 1 2 | O A | | O B | sin θ θ = 1 2 sin θ θ . {\displaystyle \mathrm {Área} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} A r e a (R 3 ) = 1 2 | O A | | A C | = 1 2 tan θ θ . {\displaystyle \mathrm {Área} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Além disso, uma vez que sin θ > 0 no primeiro quadrante, podemos dividir por ½ sin θ, dando:

1 < θ sin ⁡ θ < 1 cos ⁡ θ ⟹ 1 > sin ⁡ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implica 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,., no último passo, demos o inverso dos três termos positivos, invertendo as desigualdades.

Podemos concluir que, para 0 < θ < ½ π, a quantidade sin(θ)/θ é sempre menor que 1 e sempre maior do que cos(θ)., Assim, como θ se aproxima de 0, sin(θ)/θ é “espremido” entre um limite máximo de altura de 1 e um andar em altura cos θ, que sobe para 1; daí sin(θ)/θ deve tender para 1, θ tende para 0 o lado positivo:

lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{ + } {\frac {\sin \theta }{\theta } =1\,.,}

Para o caso em que θ é um pequeno número negativo –½ π < θ < 0, podemos usar o fato de que o seno é uma função ímpar:

lim θ → 0 − sin ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − pecado ⁡ θ − θ = lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{ -}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }} \ \ lim _{\theta \to 0^{ + }}\!{\frac {\sin (- \theta)} {- \theta }} \ = \ \ lim _{\theta \to 0^{ + }}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta } {\theta }}\ =\ 1\,.,}

limite de (cos (θ)-1)/θ Como θ tende a 0Edit

a última secção permite-nos calcular este novo limite com relativa facilidade. Isto é feito usando um simples truque. Neste cálculo, o sinal de θ Não é importante.

lim θ → 0 cos θ θ – 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ θ − 1 θ) (cos ⁡ θ + 1 cos cos θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ (cos cos θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,\theta-1}{\theta \, (\cos \theta +1)}}.}

Usando cos2θ – 1 = –sin2θ,o fato de que o limite de um produto é o produto dos limites, e o limite de resultados da seção anterior, encontramos que:

lim θ → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin ⁡ θ-θ ) ( lim θ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}

Limite de tan(θ)/θ como θ tende para 0Edit

Usando o limite para a função seno, o fato de que a função tangente é ímpar, e o fato de que o limite de um produto é o produto dos limites, podemos encontrar:

lim θ → 0 tan ⁡ θ θ = ( lim θ → 0 sin ⁡ θ-θ ) ( lim θ → 0 1 cos ⁡ θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

derivada da functionEdit seno

calculamos a derivada da função seno a partir da definição limite:

D θ sin θ θ = lim δ → 0 sin ⁡ (θ + δ ) − sin θ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.,}

Usando o ângulo de adição fórmula sin(α+β) = sen α cos β + sin β cos α, temos que:

d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( sin ⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ pecado ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).,}

Using the limits for the sine and cossine functions:

D D θ sin ⁡ θ = (1 ) cos ⁡ θ + (0 ) sin θ θ = cos ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}

Derivative of the cosine functionEdit

From the definition of derivativeEdit

We again calculate the derivative of the cosine functionedit from the limit definition:

D θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ ( θ + δ ) − cos ⁡ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}

Usando o ângulo de adição fórmula cos(α+β) = cos α cos β sin α sin β, tem-se:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − pecado ⁡ θ sin ⁡ δ − cos ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ pecado ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta\sin \theta \sin \delta\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}

Using the limits for the sine and cossine functions:

D D θ cos ⁡ θ = (0 ) cos ⁡ θ − (1 ) sin θ θ = − sin θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}

a Partir de uma cadeia de ruleEdit

Para calcular a derivada da função cosseno a partir da regra da cadeia, primeiro observar as seguintes três fatos:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} pecado ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta } \sin \theta =\cos \theta }

o primeiro e o segundo são identidades trigonométricas, e o terceiro é provado acima., Usando estes três fatos, podemos escrever o seguinte,

D D θ cos cos θ = d d d θ sin ⁡ (π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} {\operatorname {d}\!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ‘( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\ theta } f\!\esquerda (g\!\left (\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\esquerda (g\!\left (\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!,\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } .

portanto, nós provamos que

d d θ cos cos θ = – sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta } \cos \theta = – \sin \theta } .

Derivada da tangente functionEdit

a Partir da definição de derivativeEdit

Para calcular a derivada da função tangente tan θ, usamos primeiros princípios. Por definição:

D D θ tan θ θ = lim δ → 0 ( tan ⁡ ( θ + δ ) − tan θ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!,\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}

Using the well-known angle formula tan (α+β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), we have:

D D θ tan θ θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left=\lim _{\delta \to 0}\left.}

Usando o fato de que o limite de um produto é o produto dos limites:

D D θ tan ⁡ θ = lim δ → 0 tan δ δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ θ 1 − tan θ θ tan δ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}

Usando o limite para a função tangente, e o fato de que tan δ tende para 0, δ tende para 0:

d d θ tan ⁡ θ = 1 × 1 + tan 2 ⁡ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}

Nós vemos imediatamente que:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatornome {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\s ^{2}\theta \,.}

da regra quociente

também se pode calcular a derivada da função tangente usando a regra quociente.,

d d θ tão ⁡ θ = d d θ sem ⁡ θ cos ⁡ θ = ( sem ⁡ θ ) ‘⋅ cos ⁡ θ − sem ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ) ‘ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta}} \ tan \ theta = {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}

O numerador pode ser simplificado por 1 a Pitágoras de identidade, dando-nos,

1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\s ^{2}\theta }

Portanto,

d d θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta } \tan \theta =\sec ^{2}\theta }