Límite de sen(θ)/θ como θ tiende a 0Edit
el diagrama de La derecha muestra un círculo de centro O y radio r = 1. Que dos radios OA y OB hagan un arco de θ radianes. Dado que estamos considerando el límite como θ tiende a cero, podemos asumir que θ es un pequeño número positivo, digamos 0 < θ < ½ π en el primer cuadrante.,
en el diagrama, sea R1 el triángulo OAB, R2 el sector circular OAB, y R3 el triángulo oac. El área del triángulo OAB es:
A r E A (R 1 ) = 1 2 | O A | | O B | Sin θ = 1 2 sin θ . {\displaystyle \mathrm {Área} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} A r E a ( R 3) = 1 2 | O A | | A C | = 1 2 tan θ . {\displaystyle \mathrm {Área} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
Since each region is contained in the next, one has:
Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin θ < 1 2 θ < 1 2 tan θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
por otra parte, desde el sen θ > 0 en el primer cuadrante, podemos dividir a través de ½ sen θ, dando:
1 < θ pecado θ < 1 cos θ ⟹ 1 > pecado θ θ > cos θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implica 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}
en el último paso tomamos los recíprocos de los tres términos positivos, revirtiendo las inequidades.
llegamos a la conclusión de que para 0 < θ < ½ π, la cantidad sen(θ)/θ es siempre menor que 1 y siempre mayor que cos(θ)., Por lo tanto, a medida que θ se acerca a 0, el sin(θ)/θ se «aprieta» entre un techo a la altura 1 y un piso a la altura cos θ, que se eleva hacia 1; por lo tanto, el sin(θ)/θ debe tender a 1 ya que θ tiende a 0 desde el lado positivo:
lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.,}
Para el caso donde θ es un pequeño número negativo –½ π < θ < 0, utilizamos el hecho de que el seno es una función impar:
lim θ → 0 − pecado θ θ = lim θ → 0 + pecado ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − pecado θ − θ = lim θ → 0 + pecado θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \ to 0^{ -}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.,}
límite de (Cos (θ)-1)/θ Como θ tiende a 0editar
La última sección nos permite calcular este nuevo límite con relativa facilidad. Esto se hace mediante el empleo de un truco simple. En este cálculo, el signo de θ No es importante.
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) ( cos θ + 1 cos θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1} {\theta \, (\cos \theta +1)}}.}
Usando cos2θ – 1 = – sin2θ, el hecho de que el límite de un producto es el producto de límites, y el resultado límite de la sección anterior, encontramos que:
lim θ → 0 cos θ-1 θ = lim θ → 0-sin 2 θ θ (cos θ + 1) = (- lim θ → 0 sin θ θ) (lim θ → 0 sin θ cos θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
Límite de tan(θ)/θ como θ tiende a 0Edit
Usando el límite de la función seno, el hecho de que la función tangente es impar, y el hecho de que el límite de un producto es el producto de los límites, nos encontramos con:
lim θ → 0 tan θ θ = ( lim θ → 0 pecado θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \izquierdo(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
derivada de la función sinusoidit
calculamos la derivada de la función sinusoidal a partir de la definición de límite:
D d θ Sin θ = Lim δ → 0 sin ( θ + δ ) − sin θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.,}
Usando la fórmula de adición de ángulo sin ( α+β) = Sin α cos β + sin β cos α, tenemos:
D D θ Sin θ = Lim δ → 0 sin θ cos δ + sin δ cos θ − sin θ δ = lim δ → 0 (sin δ δ δ cos θ + cos δ − 1 δ Sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \derecho).,}
Usando los límites para las funciones seno y coseno:
D D θ Sin θ = ( 1 ) cos θ + ( 0 ) sin θ = cos θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
derivada de la función cosenoeditar
de la definición de derivativoeditar
nuevamente calculamos la derivada de la función coseno de la definición límite:
D D θ cos θ = Lim δ → 0 cos ( θ + δ ) − cos θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
Usando la fórmula de suma de ángulos cos ( α+β) = cos α cos β – sin α Sin β, tenemos:
D D θ cos θ = Lim δ → 0 cos θ cos δ − Sin θ Sin δ − cos θ δ = lim δ → 0 (cos δ − 1 δ cos θ − Sin δ δ Sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta\sin \theta \sin \delta\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \derecho).}
Usando los límites para las funciones seno y coseno:
D D θ cos θ = ( 0 ) cos θ − ( 1 ) Sin θ = − sin θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}
De la cadena de ruleEdit
Para calcular la derivada de la función coseno de la regla de la cadena, primero observar los siguientes tres hechos:
cos θ = sen ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \derecho)} pecado θ = cos ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \derecho)} d d θ pecado θ = cos θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }
La primera y la segunda son las identidades trigonométricas, y la tercera es probado anteriormente., Usando estos tres hechos, podemos escribir lo siguiente,
d d θ cos θ = d d θ Sin (π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \derecho)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ‘( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sen θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\ theta }} f\!\ left (g\!\left (\theta \ right) \ right) = f^{\prime }\!\ left (g\!\left (\theta\right)\right) \ cdot g^{\prime }\!,\left (\theta\right)=\cos\left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta\right)\cdot (0-1)=-\sin \ theta } .
Por lo tanto, hemos demostrado que
d d θ cos θ = – sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta } .
derivada de la función tangentedit
de la definición de derivativedit
para calcular la derivada de la función tangente tan θ, utilizamos los primeros principios. Por definición:
d d θ tan θ = lim δ → 0 ( tan ( θ + δ ) − tan θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
Usando la conocida fórmula de ángulo tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), tenemos:
d D θ tan θ = Lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left=\lim _{\delta \to 0}\left.}
con el hecho de que el límite de un producto es el producto de los límites:
d d θ tan θ = lim δ → 0 tan δ δ x lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ 1 − tan θ tan δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\bronceado ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
Usando el límite de la función tangente, y el hecho de que tan δ tiende a 0 como δ tiende a 0:
d d θ tan θ = 1 × 1 + tan 2 θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \ theta =1 \ times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}
vemos inmediatamente que:
d d θ tan θ = 1 + sen 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ + sen 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\s ^{2}\theta \,.}
desde la regla del cocienteditar
También se puede calcular la derivada de la función tangente utilizando la regla del cociente.,
d d θ tan θ = d d θ sin θ cos θ = ( sin θ ) ′ ⋅ cos θ − sin θ ⋅ ( cos θ ) ′ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \derecho)^{\prime }\cdot \cos \theta\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \derecho)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
El numerador puede ser simplificado a 1 por la identidad Pitagórica, que nos da,
1 cos 2 θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\s ^{2}\theta }
por lo Tanto,
d d θ tan θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta = \ sec ^{2} \ theta }
Leave a Reply