Drehmoment

Wenn eine Kraft durch einen Abstand wirken darf, macht sie mechanische Arbeit. In ähnlicher Weise, wenn das Drehmoment durch einen Drehabstand wirken darf, macht es Arbeit. Mathematisch kann für die Drehung um eine feste Achse durch den Massenschwerpunkt die Arbeit W als

W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ , {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}

wobei τ Drehmoment ist und θ1 und θ2 die Anfangs-und Endwinkelpositionen des Körpers darstellen.,islacement, the limits of the integration also change correspondingly, giving

W = ∫ θ 1 θ 2 τ → ⋅ d θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathhrm {d} \theta }

Aus dem Arbeitsenergiesatz folgt, dass W auch die Veränderung der rotationskinetischen Energie Er des Körpers darstellt, gegeben durch

E r = 1 2 I ω 2, {\displaystyle E_{\mathhrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

wobei I das Trägheitsmoment des Körpers und ω seine Winkelgeschwindigkeit ist.,

Leistung ist die Arbeit pro Zeiteinheit, gegeben durch

P = τ ⋅ ω, {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

wobei P Leistung ist, τ Drehmoment ist, ω die Winkelgeschwindigkeit ist und ⋅ {\displaystyle \cdot } das Skalarprodukt darstellt.

Algebraisch kann die Gleichung neu angeordnet werden, um das Drehmoment für eine gegebene Winkelgeschwindigkeit und Leistung zu berechnen., Beachten Sie, dass die durch das Drehmoment eingespritzte Leistung nur von der momentanen Winkelgeschwindigkeit abhängt – nicht davon, ob die Winkelgeschwindigkeit während der Anwendung des Drehmoments zunimmt, abnimmt oder konstant bleibt (dies entspricht dem linearen Fall, in dem die durch eine Kraft eingespritzte Leistung nur von der momentanen Geschwindigkeit abhängt – nicht von der resultierenden Beschleunigung, falls vorhanden).,

In der Praxis kann diese Beziehung bei Fahrrädern beobachtet werden: Fahrräder bestehen typischerweise aus zwei Straßenrädern, Vorder-und Hinterrädern (als Kettenräder bezeichnet), die mit einer kreisförmigen Kette verbunden sind, und einem Schaltwerk, wenn das Getriebesystem des Fahrrads die Verwendung mehrerer Übersetzungsverhältnisse (d. H. Mehrgangfahrräder) zulässt, die alle am Rahmen befestigt sind. Ein Radfahrer, die Person, die das Fahrrad fährt, liefert die Eingangsleistung durch Drehen der Pedale, wodurch das vordere Kettenrad (allgemein als Kettenblatt bezeichnet) gekröpft wird., Die vom Radfahrer bereitgestellte Eingangsleistung entspricht dem Produkt der Trittfrequenz (d. H. Der Anzahl der Pedalumdrehungen pro Minute) und dem Drehmoment auf der Spindel der Kurbelgarnitur des Fahrrads. Der Antriebsstrang des Fahrrads überträgt die Eingangsleistung auf das Straßenrad, was wiederum die empfangene Leistung als Ausgangsleistung des Fahrrads auf die Straße überträgt. Abhängig vom Übersetzungsverhältnis des Fahrrads wird ein Eingangspaar (Drehmoment, Drehzahl)in ein Ausgangspaar (Drehmoment, Drehzahl)umgewandelt., Durch die Verwendung eines größeren Hinterrads oder durch Umschalten in einen niedrigeren Gang bei Mehrgangfahrrädern wird die Winkelgeschwindigkeit der Straßenräder verringert, während das Drehmoment erhöht wird, dessen Produkt (d. H. Leistung) sich nicht ändert.

Es müssen konsistente Einheiten verwendet werden. Bei metrischen SI-Einheiten beträgt die Leistung Watt, das Drehmoment Newtonmeter und die Winkelgeschwindigkeit Radiant pro Sekunde (nicht U / min und nicht Umdrehungen pro Sekunde).

Außerdem ist die Einheit Newtonmeter dimensional äquivalent zum Joule, der Energieeinheit., Im Falle des Drehmoments ist die Einheit jedoch einem Vektor zugeordnet, während sie für Energie einem Skalar zugeordnet ist. Dies bedeutet, dass die dimensionale Äquivalenz von Newtonmeter und Joule im ersteren, im letzteren Fall jedoch nicht angewendet werden kann. Dieses Problem wird in der Orientierungsanalyse angesprochen, die Radiant eher als Basiseinheit als als dimensionslose Einheit behandelt.

Umwandlung in andere Einheiten

Bei Verwendung unterschiedlicher Leistungs-oder Drehmomenteinheiten kann ein Umrechnungsfaktor erforderlich sein., Wenn beispielsweise die Drehzahl (Umdrehungen pro Zeit) anstelle der Winkelgeschwindigkeit (Bogenmaß pro Zeit) verwendet wird, multiplizieren wir sie mit einem Faktor von 2π Bogenmaß pro Umdrehung. In den folgenden Formeln ist P Leistung, τ Drehmoment und ν (griechischer Buchstabe nu) Drehzahl.

P = τ ⋅ 2 π ⋅ ν {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

Zeigen-Einheiten:

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r a-d / r e v ) ⋅ ν ( r e v / s e c ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rev/sec)}}}

die Aufteilung von 60 Sekunden pro minute gibt uns die folgende.,

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r a-d / r e v ) ⋅ ν ( r p m ) 60 {\displaystyle P({\rm {W}})={\frac {\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(U / min)}}}{60}}}

wobei die Drehzahl wird in umdrehungen pro minute (U / min).

Einige Leute (z. B. amerikanische Automobilingenieure) verwenden PS (mechanisch) für Leistung, Fuß-Pfund (lbf⋅ft) für Drehmoment und Drehzahl für Drehzahl. Diese Ergebnisse in die Formel ändern zu:

P ( h p ) = τ ( l b f ⋅ f t ) ⋅ 2 π ( r a-d / r e v ) ⋅ ν ( r p m ) 33 , 000 ., {\displaystyle P({\rm {PS}})={\frac {\tau {\rm {(lbf\cdot ft)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {min}})}{33,000}}.}

Die Konstante unten (in Fuß-Pfund pro Minute) ändert sich mit der Definition der PS; zum Beispiel, mit metrischen PS, es wird ungefähr 32,550.

Die Verwendung anderer Einheiten (z. B. BTU pro Stunde für die Leistung) würde einen anderen benutzerdefinierten Umrechnungsfaktor erfordern.

AbleitungsEdit

Bei einem rotierenden Objekt ist der am Rotationsumfang zurückgelegte lineare Abstand das Produkt des Radius mit dem abgedeckten Winkel., Das heißt: linearer Abstand = Radius × Winkelabstand. Und per Definition ist linearer Abstand = lineare Geschwindigkeit × Zeit = Radius × Winkelgeschwindigkeit × Zeit.

Durch die definition von Drehmoment: Drehmoment = radius × Kraft. Wir können dies neu anordnen, um Kraft = Drehmoment ÷ Radius zu bestimmen. Diese beiden Werte können in die Definition der Leistung eingefügt werden:

Leistung = Kraft ⋅ linearer Abstand Zeit = ( Drehmoment r ) ⋅ ( r ⋅ Winkeldrehzahl ⋅ t ) t = Drehmoment ⋅ Winkeldrehzahl ., {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\text{Energie}}&={\frac {{\text{Kraft}}\cdot {\text{Luftlinie}}}{\text{Zeit}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{Drehmoment}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{Winkelgeschwindigkeit}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{Drehmoment}}\cdot {\text{Winkelgeschwindigkeit}}.\ end{aligned}}}

Der Radius r und die Zeit t sind aus der Gleichung gefallen. Die Winkelgeschwindigkeit muss jedoch im Bogenmaß sein, durch die angenommene direkte Beziehung zwischen Lineargeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit zu Beginn der Ableitung., Wenn die Drehzahl in Umdrehungen pro Zeiteinheit gemessen wird, werden die lineare Geschwindigkeit und der Abstand proportional um 2π in der obigen Ableitung erhöht, um zu geben:

Leistung = Drehmoment ⋅ 2 π ⋅ Drehzahl . {\displaystyle {\text{Leistung}}={\text{Drehmoment}}\cdot 2\pi \cdot {\text{Drehzahl}}.\ ,}

Wenn das Drehmoment in Newtonmetern und die Drehzahl in Umdrehungen pro Sekunde liegt, ergibt die obige Gleichung eine Leistung in Newtonmetern pro Sekunde oder Watt., Wenn imperiale Einheiten verwendet werden, und wenn das Drehmoment in Pfund-Kraft Füße und Drehzahl in Umdrehungen pro Minute, die obige Gleichung gibt Leistung in Fuß Pfund-Kraft pro Minute.,n abgeleitet durch Anwendung des Umrechnungsfaktors 33.000 ft⋅lbf/min pro PS:

Leistung = Drehmoment ⋅ 2 π ⋅ Drehzahl ⋅ ft ⋅ lbf min ⋅ PS 33.000 ft ⋅ lbf min ≈ Drehmoment ⋅ RPM 5 , 252 {\displaystyle {\begin{power}{\text{power}}&={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotating speed}}\cdot {\frac {\\text {ft}} \cdot {\text {lbf}}} {\text {min}}} \cdot {\frac {\text {horsepower}} {33,000\cdot {\frac {\text {ft}} \cdot {\text{lbf}}} {\text{min}}}}\\&\text {\frac {{\text {drehmoment}} \cdot {\text{RPM}} {5,252}} \ Ende{ausgerichtet}}}

weil 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122\approx {\frac {33,000}{2\pi }}.\,}