Točivý moment

Pokud je síla povolena pro působení na dálku, provádí mechanickou práci. Podobně, pokud je točivý moment povolen působit prostřednictvím rotační vzdálenosti, dělá to práci. Matematicky, pro otáčení kolem pevné osy procházející středem hmotnosti, práci W může být vyjádřen jako

W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ , {\displaystyle T=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta}

, kde τ je točivý moment, a θ1 a θ2 představují (v tomto pořadí) počáteční a konečné úhlové pozice těla.,isplacement, meze integrace také změnit odpovídajícím způsobem, což

W = ∫ θ 1 θ 2 τ → ⋅ d θ → {\displaystyle T=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle T=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta }

To vyplývá z práce-energetické věta, že W představuje také změnu v rotační kinetická energie Er těla, vzhledem k tomu,

E r = 1 2 I ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

, kde I je moment setrvačnosti tělesa a ω je jeho úhlová rychlost.,

Výkon je práce za jednotku času, vzhledem k tomu,

P = τ ⋅ ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

, kde P je výkon, τ je točivý moment, ω je úhlová rychlost, a ⋅ {\displaystyle \cdot } představuje skalární součin.

algebraicky může být rovnice přeskupena tak, aby vypočítala točivý moment pro danou úhlovou rychlost a výkon., Všimněte si, že síla vycházející z kroutícího momentu závisí pouze na okamžité úhlové rychlosti – ne na to, zda úhlová rychlost se zvyšuje, snižuje, nebo zůstává konstantní, zatímco točivý moment je aplikován (to je ekvivalentní lineární případě, kdy síly injekčně silou závisí pouze na okamžité rychlosti – ne na výsledné zrychlení, pokud existuje).,

V praxi, tento vztah může být pozorována u kola: Kola jsou obvykle složeny ze dvou silniční kola, přední a zadní kola (dále řetězová kola) při tvorbě sítě s kruhovým řetězce, a přesmykač mechanismus, pokud kolo je přepravní systém umožňuje více převodové poměry, které budou použity (tj. multi-speed kola), z nichž všechny jsou připojeny k rámu. Cyklista, osoba, která jezdí na kole, poskytuje vstupní sílu otáčením pedálů, čímž se spouští přední řetězové kolo (běžně označované jako řetězové kolo)., Příkon poskytována cyklista je rovná součinu kadence (tj. počet otáček pedálů za minutu) a točivý moment na vřeteno kolo kliky. Hnací ústrojí jízdního kola přenáší vstupní výkon na silniční kolo, které zase přenáší přijatý výkon na silnici jako výstupní výkon kola. V závislosti na převodovém poměru jízdního kola se vstupní pár a (točivý moment, otáčky)převede na výstupní pár (točivý moment, otáčky)., Pomocí větší zadní kola, nebo přepnutím na nižší převodový stupeň v multi-speed kola, úhlová rychlost kola je snížena, zatímco točivý moment se zvýšil, produkt, který (tj. energie) se nemění.

musí být použity konzistentní jednotky. U metrických jednotek SI je výkon wattů, točivý moment je newton metrů a úhlová rychlost je radians za sekundu (ne rpm a ne otáčky za sekundu).

také jednotka newton metr je rozměrově ekvivalentní joule, což je jednotka energie., V případě točivého momentu je však jednotka přiřazena vektoru, zatímco pro energii je přiřazena skaláru. To znamená, že rozměrová ekvivalence Newtonova metru a joule může být použita v prvním, ale ne v druhém případě. Tento problém je řešen v orientační analýze, která považuje radiány spíše za základní jednotku než za bezrozměrnou jednotku.

konverze na jiné jednotkyedit

při použití různých jednotek výkonu nebo točivého momentu může být nutný konverzní faktor., Pokud se například použije rychlost otáčení (otáčky za čas) místo úhlové rychlosti (radiány za čas), vynásobíme faktorem 2π radiánů za otáčku. V následujících vzorcích je P výkon, τ je točivý moment a ν (řecké písmeno nu) je rychlost otáčení.

P = τ ⋅ 2 π ⋅ ν {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

Ukazuje jednotek:

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r d / r e v ) ⋅ ν ( r e v / s e c ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(ot/sec)}}}

děleno 60 sekund za minutu nám dává následující.,

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r d / r e v ) ⋅ ν ( p r m ) 60 {\displaystyle P({\rm {W}})={\frac {\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(ot / min)}}}{60}}}

kde rychlost otáčení v otáčkách za minutu (ot / min).

někteří lidé (např. američtí automobiloví inženýři) používají výkon (mechanický) pro výkon, nohy (lbf ft ft) pro točivý moment a otáčky pro rychlost otáčení. Výsledkem je změna vzorce na:

P (h p) = τ ( l b f ⋅ f t) π 2 π ( r a D / r E v) ν ν (r p m ) 33 000 ., {\displaystyle P({\rm {hp}})={\frac {\tau {\rm {(lbf\cdot ft)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {min}})}{33,000}}.}

konstantní níže (v nohy-libry za minutu) změny s definicí koní; například pomocí metrických koňských sil, to se stává přibližně 32,550.

použití jiných jednotek (např. BTU za hodinu pro napájení) by vyžadovalo jiný vlastní konverzní faktor.

DerivationEdit

Pro rotující objekt, lineární vzdálenost na obvodu rotace je produkt poloměrem s úhlem vztahuje., To znamená: lineární vzdálenost = poloměr × úhlová vzdálenost. A podle definice lineární vzdálenost = lineární rychlost × čas = poloměr × úhlová rychlost × čas.

podle definice točivého momentu: točivý moment = poloměr × síla. Můžeme to uspořádat tak, abychom určili sílu = poloměr točivého momentu÷. Tyto dvě hodnoty lze nahradit definicí výkonu:

power = force ⋅ lineární vzdálenost time = (točivý moment r) ⋅ (R ⋅ úhlová rychlost ⋅ t) T = točivý moment ⋅ úhlová rychlost ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{platnost}}\cdot {\text{lineární vzdálenost}}}{\text{čas}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{moment}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{úhlová rychlost}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{moment}}\cdot {\text{úhlová rychlost}}.\end{aligned}}}}

poloměr r a čas t vypadly z rovnice. Úhlová rychlost však musí být v radiánech, předpokládaným přímým vztahem mezi lineární rychlostí a úhlovou rychlostí na začátku derivace., Pokud je rotační rychlost se měří v otáčkách za jednotku času, lineární rychlosti a vzdálenosti jsou větší, úměrně tím, 2π ve výše uvedeném odvození dát:

výkon = kroutící moment ⋅ 2 π ⋅ rychlost otáčení . {\displaystyle {\text{power}} = {\text{torque}}\cdot 2 \ pi \cdot {\text{rotační rychlost}}.\,}

Pokud je kroutící moment v newton metrů a rychlost otáčení v otáčkách za sekundu, výše uvedené rovnice dává sílu v newton metrech za sekundu nebo wattů., Pokud se používají imperiální jednotky a pokud je točivý moment v librách-síla nohou a rychlost otáčení v otáčkách za minutu, výše uvedená rovnice dává sílu v librách nohou-síla za minutu.,n získané použitím konverzní faktor 33,000 ft⋅lbf/min / výkon:

výkon = kroutící moment ⋅ 2 π ⋅ rychlost otáčení ⋅ ft ⋅ lbf min ⋅ koní 33 , 000 ⋅ ft ⋅ lbf min ≈ točivý moment ⋅ OT / min 5 , 252 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\text{moment}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rychlost otáčení}}\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{kp}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{výkon}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{kp}}}{\text{min}}}}}\\&\ca {\frac {{\text{moment}}\cdot {\text{MIN}}}{5,252}}\end{aligned}}}

protože 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122 \ cca. {\frac {33,000}{2 \ pi }}.\,}