Grensen for sin(θ)/θ som θ har en tendens til å 0Edit
diagrammet til høyre viser en sirkel med sentrum i O og radius r = 1. La to radier OA og OB gjøre en bue av θ radianer. Siden vi vurderer grensen som θ har en tendens til null, kan vi anta at θ er en liten positive tall, sier 0 < θ < ½ π i første kvadrant.,
I diagrammet, la R1 være trekanten OAB, R2 rundskrivet sektor OAB, og R3 trekanten OAC. Arealet av trekanten OAB er:
A r e a ( R-1 ) = 1 2 | O | | O B | sin θ = 1 2 synd θ . {\displaystyle \mathrm {Området} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\synd \theta ={\tfrac {1}{2}}\synd \theta \,.} A r e a ( R-3 ) = 1 2 | O | | A-C | = 1 2 tan θ . {\displaystyle \mathrm {Området} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
Since each region is contained in the next, one has:
Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin θ < 1 2 θ < 1 2 tan θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
Videre, siden synden θ > 0 i første kvadrant, kan vi dele gjennom av ½ synd θ, noe som gir:
1 < θ synd θ < 1 cos θ ⟹ 1 > synd θ θ > cos θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\synd \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\innebærer 1>{\frac {\synd \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}
I det siste trinnet, vi tok reciprocals av de tre positive termer, kan du reversere urettferdighet.
Vi konkludere med at for 0 < θ < ½ π, mengde sin(θ)/θ er alltid mindre enn 1 og alltid større enn cos(θ)., Dermed, som θ blir nærmere 0, sin(θ)/θ er «klemt» mellom et tak på høyde 1 og en etasje på høyde cos θ, som stiger mot 1; dermed sin(θ)/θ må tendens til 1 som θ har en tendens til 0 fra den positive siden:
lim θ → 0 + synd θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \0^{+}}{\frac {\synd \theta }{\theta }}=1\,.,}
For de tilfelle der θ er en liten negativt tall –½ π < θ < 0, kan vi utnytte det faktum at sinus er en odde funksjon:
lim θ → 0 − synd θ θ = lim θ → 0 + synd ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − synd θ − θ = lim θ → 0 + synd θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \0^{-}}\!{\frac {\synd \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {-\synd \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {\synd \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.,}
Grense (cos(θ)-1)/θ som θ har en tendens til å 0Edit
Den siste delen gjør det mulig for oss å beregne denne nye grensen relativt enkelt. Dette er gjort ved å ansette et enkelt triks. I denne beregningen, tegnet av θ er uviktig.
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) ( cos θ + 1 cos θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
ved Hjelp av cos2θ – 1 = –sin2θ,det faktum at grensen av et produkt er produktet av grenser, og grensen resultat fra forrige avsnitt, finner vi at:
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 θ θ ( cos θ + 1 ) = ( − lim-θ → 0 synd θ θ ) ( lim θ → 0 synd θ cos θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\synd ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\synd \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\synd \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
Grense for tan(θ)/θ som θ har en tendens til å 0Edit
ved Hjelp av grensen for sinus-funksjon, det faktum at tangens-funksjonen er merkelig, og det faktum at grensen av et produkt er produktet av grenser, finner vi:
lim θ → 0 tan θ θ = ( lim θ → 0 synd θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\synd \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
Deriverte av sinus functionEdit
Vi beregne den deriverte av sinus-funksjonen fra grensen definisjon:
d d θ synd θ = lim δ → 0 synd ( θ + δ ) − synd δ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\synd \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\synd \theta }{\delta }}.,}
ved Hjelp av vinkelen tillegg formelen sin(α+β) = sin α cos β + synd β cos α, har vi:
d d θ synd θ = lim δ → 0 synd θ cos δ + synd δ cos θ − sin δ θ = lim δ → 0 ( synd δ δ cos θ + cos δ − 1 δ synd θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\synd \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\synd \theta \cos \delta +\synd \delta \cos \theta -\synd \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\synd \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\synd \theta \right).,}
ved Hjelp av grensene for sinus og cosinus funksjoner:
d d θ synd θ = ( 1 ) cos θ + ( 0 ) synd θ = cos θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\synd \theta =(1)\cos \theta +(0)\synd \theta =\cos \theta \,.}
Derivat av cosinus functionEdit
Fra definisjonen av derivativeEdit
Vi igjen beregne den deriverte av cosinus-funksjonen fra grensen definisjon:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos ( θ + δ ) − cos δ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
ved Hjelp av vinkelen tillegg formel cos(α+β) = cos α cos β – sin α synd β, har vi:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos θ cos δ − synd θ synd δ − cos δ θ = lim δ → 0 ( cos δ − 1 δ cos θ − sin δ δ synd θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\synd \theta \synd \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\synd \delta }{\delta }}\synd \theta \right).}
ved Hjelp av grensene for sinus og cosinus funksjoner:
d d θ cos θ = ( 0 ) cos θ − ( 1 ) synd θ = − sin θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\synd \theta =-\synd \theta \,.,}
Fra kjeden ruleEdit
for Å beregne den deriverte av cosinus-funksjonen fra kjeden regel først observere følgende tre fakta:
cos θ = sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\synd \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} synd θ = cos ( π 2 − θ ) {\displaystyle \synd \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ synd θ = cos θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\synd \theta =\cos \theta }
Den første og den andre er trigonometriske identiteter, og den tredje er vist ovenfor., Ved hjelp av disse tre fakta, kan vi skrive følgende,
d d θ cos θ = d d θ synd ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\synd \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!,\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\synd \theta } .
Derfor, har vi bevist at
d d θ cos θ = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\synd \theta } .
Derivat av tangenten functionEdit
Fra definisjonen av derivativeEdit
for Å beregne den deriverte av tangens-funksjonen tan θ, bruker vi første prinsipper. Ved definisjon:
d d tan θ θ = lim δ → 0 ( tan ( θ + δ ) − tan θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
ved Hjelp av kjente vinkel formel tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 – tan tan α β), har vi:
d d tan θ θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left=\lim _{\delta \to 0}\venstre.}
ved Hjelp av det faktum at grensen av et produkt er produktet av grenser:
d d tan θ θ = lim δ → 0 tan δ δ x lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ 1 − tan tan θ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
ved Hjelp av grensen for tangens-funksjonen, og det faktum at tan δ har en tendens til 0 δ har en tendens til 0:
d d tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\ganger {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}
Vi ser umiddelbart at:
d d tan θ θ = 1 + 2 synd θ cos 2 θ = cos 2 θ + 2 synd θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sek 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\synd ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sek ^{2}\theta \,.}
Fra kvotienten ruleEdit
En kan også regne ut den deriverte av tangens-funksjonen ved hjelp av kvotienten regelen.,
d d tan θ θ = d d θ uten θ cos θ = ( uten θ ) ‘⋅ cos θ − sin θ ⋅ ( cos θ ) ‘ cos 2 θ = cos 2 θ + 2 synd θ cos 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\synd \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\synd \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\synd \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\synd ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
telleren kan forenkles til 1 av Pytagoreisk identitet, noe som gir oss
1 cos 2 θ = sek 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sek ^{2}\theta }
Derfor,
d d tan θ θ = sek 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sek ^{2}\theta }
Leave a Reply