Haben Sie jemals saß in einem Mathe-Klassenzimmer und fragte mich: „Wann werde ich das jemals benutzen Sie diese?“Vielleicht haben Sie sich diese Frage gestellt, als Sie zum ersten Mal auf „imaginäre“ Zahlen gestoßen sind, und das aus gutem Grund: Was könnte weniger praktisch sein als eine Zahl, die als imaginär beschrieben wird?
Aber imaginäre Zahlen und die komplexen Zahlen, die sie definieren, erweisen sich als unglaublich nützlich. Sie haben weitreichende Auswirkungen in Physik, Technik, Zahlentheorie und geometrie., Und sie sind der erste Schritt in eine Welt seltsamer Zahlensysteme, von denen einige als Modelle der mysteriösen Beziehungen vorgeschlagen werden, die unserer physischen Welt zugrunde liegen. Schauen wir uns an, wie diese unbekannten Zahlen in den Zahlen verwurzelt sind, die wir kennen, aber gleichzeitig anders sind als alles, was wir uns vorgestellt haben.
Die „reellen Zahlen“ sind einige unserer bekanntesten mathematischen Objekte: Sie sind alle Zahlen, die in Dezimalschreibweise dargestellt werden können, wie 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… und $ latex \pi \ approx$ 3.141592…., Wir können reelle Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren und damit Fragen sowohl in Klassenzimmern als auch in unserem Alltag beantworten. Aber die reellen Zahlen sind nicht genug, um alle unsere mathematischen Probleme zu lösen.
In den 1500er Jahren versuchte der Meistergleichungslöser Girolamo Cardano, Polynomgleichungen zu lösen. Er hatte keine Probleme, Gleichungen wie $-x^2-8x+12=0 $ zu lösen, weil es leicht war, zwei Zahlen zu finden, deren Summe 8 war und deren Produkt 12 war: nämlich 2 und 6., Dies bedeutete, dass $latex x^2-8x+12$ als $latex (x-2)(x-6)$ berücksichtigt werden konnte, und das Ausdrücken dieses Polynoms als Produkt zweier Faktoren machte das Lösen der Gleichung $latex x^2-8x+12=0$ einfach.
Aber es war nicht so einfach, dies für Gleichungen wie $latex x^2-3x+10=0$zu tun. Es scheint eine unmögliche Herausforderung zu sein, zwei Zahlen zu finden, die sich zu 3 addieren und mit 10 multiplizieren. Wenn das Produkt der beiden Zahlen positiv ist, müssen sie dasselbe Vorzeichen haben, und da ihre Summe positiv ist, müssen beide positiv sein., Wenn sich jedoch zwei positive Zahlen zu 3 addieren, müssen beide kleiner als 3 sein, was bedeutet, dass ihr Produkt kleiner als 3 × 3 = 9 ist. Es scheint keinen Weg zu geben, dies zum Laufen zu bringen.
Cardano behandelte diese nicht-realen oder „imaginären“ Zahlen zögerlich und beschrieb sogar die Arithmetik, die er mit ihnen machte, als nutzlos. Aber er war überrascht zu finden, dass sie viele der gleichen Regeln gehorchten, die reelle Zahlen tun. Und obwohl es eine Weile dauerte, führte Cardanos widerstrebende Verwendung von $latex \sqrt{-1}$ zur Entwicklung der „komplexen Zahlen“, einer leistungsstarken und produktiven Erweiterung der reellen Zahlen.,
Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil. Sie haben die Form a + bi, wobei a und b beide reelle Zahlen sind, und $latex i=\sqrt{-1}$, auch bekannt als “ imaginäre Einheit.“Sie mögen zunächst seltsam erscheinen, aber wir stellen schnell fest, dass wir komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können, genau wie wir es mit reellen Zahlen tun.,
Um komplexe Zahlen zu addieren und zu subtrahieren, kombinieren Sie einfach die reellen Teile und die imaginären Teile wie folgt:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Dies ähnelt der Kombination von „like terms“, wenn Sie Polynome hinzufügen:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
Die Multiplikation komplexer Zahlen erfolgt mit derselben“ distributiven Eigenschaft“, die wir mit reellen Zahlen verwenden.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Dies veranschaulicht die Eigenschaft „closure“: Wenn Sie zwei komplexe Zahlen multiplizieren, erhalten Sie eine weitere komplexe Zahl. Du bekommst nichts anderes.
Die Multiplikation komplexer Zahlen ist sogar „kommutativ“: Wenn Sie zwei komplexe Zahlen in jeder Reihenfolge multiplizieren, ist das Ergebnis dasselbe. Zum Beispiel können Sie überprüfen, dass (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. Wir halten es oft für selbstverständlich, dass die Multiplikation reeller Zahlen kommutativ ist — zum Beispiel, dass 5 × 4 = 4 × 5 — aber wie wir später sehen werden, gilt diese wichtige Tatsache nicht für jedes Zahlensystem.,
Damit wir komplexe Zahlen multiplizieren können, aber wie teilen wir sie? Der Schlüssel ist das Verständnis der Beziehung zwischen division und Multiplikation.
Ich sage den Schülern oft, dass es keine Division gibt: Es gibt nur eine Multiplikation mit dem Reziproken. Wenn wir den Ausdruck $latex \frac{10}{2}$ sehen, denken wir normalerweise „10 geteilt durch 2″, aber wir können uns dies auch als $latex 10\times\frac{1}{2}$ oder “ 10 multipliziert mit dem Kehrwert von 2.,“
Jetzt mag dies wie eine unnötig komplizierte Herangehensweise an die Division erscheinen, aber es zahlt sich aus, wenn Sie anfangen, über Zahlen wie$latex \frac{1}{i}$nachzudenken. Die Bedeutung von “ 1 geteilt durch i „ist möglicherweise nicht sofort klar, aber“ der Kehrwert von i “ ist die Zahl, die Sie mit i multiplizieren, um 1 zu erhalten. Und es kann ein wenig überraschend sein, dass diese Zahl ist –ich!,
i × (- i) = – (i × i) = – (-1) = 1
Unter Verwendung der Tatsache, dass i × i = -1 und einiger anderer wichtiger Eigenschaften realer und komplexer Zahlen (die uns das negative Vorzeichen vor den Ausdruck bringen lassen), sehen wir, dass i × (–i) = 1 ist, und so –i ist wirklich der Kehrwert von i. Dies bedeutet, dass wir, wenn wir jemals eine Zahl durch i teilen möchten, sie einfach mit –i multiplizieren können.
Bei anderen komplexen Zahlen kann die Arithmetik etwas schwieriger werden, aber die reziproke Idee funktioniert immer noch., Um beispielsweise $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ zu berechnen, müssen wir den Kehrwert von 3 + 4i finden, und dazu verwenden wir einen Trick, der das „Konjugat“ einer komplexen Zahl beinhaltet — dh die Zahl, die Sie erhalten, wenn Sie das Vorzeichen ihres imaginären Teils wechseln.
Beachten Sie, was passiert, wenn wir die komplexe Zahl 3 + 4i mit ihrem Konjugat 3 – 4i multiplizieren., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number.,, wir teilen beide Seiten der Gleichung durch 25 und machen einige Algebra:
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
Die Einführung dieser einen neuen nicht-reellen Zahl — i, der imaginären Einheit — startete eine völlig neue mathematische Welt zu erkunden., Es ist eine seltsame Welt, in der Quadrate negativ sein können, deren Struktur jedoch den reellen Zahlen sehr ähnlich ist, mit denen wir so vertraut sind. Und diese Erweiterung auf die reellen Zahlen war nur der Anfang.
1843 stellte sich William Rowan Hamilton eine Welt vor, in der es viele verschiedene „imaginäre Einheiten“ gab, und entdeckte dabei die Quaternionen. Die Quaternionen sind wie die komplexen Zahlen strukturiert, jedoch mit zusätzlichen Quadratwurzeln von -1, die als j und k bezeichnet werden. Jede Quaternion hat die Form a + bi + cj +dk, wobei a, b, c und d reelle Zahlen sind und $$i^2=j^2=k^2=-1$., Sie könnten denken, jeder kann ein neues Zahlensystem erfinden, aber es ist wichtig zu fragen, ob es die Strukturen und Eigenschaften hat, die wir wollen. Wird das System beispielsweise unter Multiplikation geschlossen? Werden wir teilen können?
Um sicherzustellen, dass die Quaternionen diese Eigenschaften hatten, musste Hamilton herausfinden, was mit i × j zu tun ist. Alle Quaternionen müssen wie a + bi + cj +dk aussehen, und i × j nicht. Wir stießen auf ein ähnliches Problem, als wir zum ersten Mal zwei komplexe Zahlen multiplizierten: Unser ursprüngliches Ergebnis hatte einen i × i-Term, der nicht zu passen schien., Glücklicherweise könnten wir die Tatsache verwenden, dass $latex i^2=-1$, um die Zahl in ihre richtige Form zu bringen. Aber was kann mit i × j gemacht werden?
Hamilton selbst bemühte sich, dieses Produkt zu verstehen, und als der Moment der Inspiration endlich kam, schnitzte er seinen Einblick in den Stein der Brücke, die er überquerte:
$^2=j^2=k^2=i\times j\times k=-1$
Menschen aus aller Welt besuchen immer noch die Broome Bridge in Dublin, um an diesem Moment mathematischer Entdeckung teilzunehmen.,
Hamiltons berühmte Beziehung zwischen den imaginären Einheiten i, j und k ermöglicht es uns, Quaternionen zu multiplizieren und zu teilen und die Ergebnisse zu erzielen, die wir meistens erwarten. Mal sehen, wie dies die Frage löst, was i × j sein sollte.
Beginnend mit i × j × k = -1 multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung (auf ihrer rechten Seite) mit k und vereinfachen.
Aus Hamiltons Beziehung sehen wir, dass i × j = k., Hier verwenden wir die Tatsache, dass k × k = -1 zusammen mit anderen Eigenschaften, einschließlich der „assoziativen Eigenschaft“ der Multiplikation, die besagt, dass Sie beim Multiplizieren von mehr als zwei Dingen auswählen können, welches Paar zuerst multipliziert werden soll. Dies ist eine weitere Eigenschaft, die wir mit den reellen Zahlen für selbstverständlich halten — zum Beispiel, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — und wie bei der Kommutativität werden wir sehen, dass es nicht immer für jedes Zahlensystem gilt.,
Die anderen Produkte können auf ähnliche Weise abgeleitet werden, und so erhalten wir eine Multiplikationstabelle mit imaginären Einheiten, die folgendermaßen aussieht:
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
Diese Quaternionsmultiplikationsregeln können im folgenden Diagramm dargestellt werden:
Wenn Sie sich hier um den Kreis in Richtung der Pfeile bewegen, erhalten Sie das entsprechende Produkt (i × j = k), und wenn Sie sich in die entgegengesetzte Richtung bewegen, wird ein Faktor von -1 (ex. j × i = –k)., Beachten Sie, dass die Multiplikation von Quaternionen im Gegensatz zu den reellen und komplexen Zahlen nicht kommutativ ist. (Deshalb mussten wir beide Seiten der Gleichung i × j × k = -1 oben mit k auf ihrer rechten Seite multiplizieren.) Das Multiplizieren von zwei Quaternionen in verschiedenen Ordnungen kann zu unterschiedlichen Ergebnissen führen!
$latex i\times j=k\neq-k=j\times i$
Um die gewünschte Struktur in den Quaternionen zu erhalten, müssen wir die Kommutativität der Multiplikation aufgeben., Dies ist ein echter Verlust: Kommutativität ist eine Art algebraische Symmetrie, und Symmetrie ist immer eine nützliche Eigenschaft in mathematischen Strukturen. Aber mit diesen Beziehungen gewinnen wir ein System, in dem wir viel addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können, wie wir es mit komplexen Zahlen getan haben.
Um Quaternionen zu addieren und zu subtrahieren, sammeln wir wie zuvor. Um zu multiplizieren, verwenden wir immer noch die Verteilungseigenschaft: Sie erfordert nur etwas mehr Verteilung., Und um Quaternionen zu teilen, verwenden wir immer noch die Idee des Konjugats, um das Reziproke zu finden, denn genau wie bei komplexen Zahlen ist das Produkt eines Quaternions mit seinem Konjugat eine reelle Zahl.
$latex (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
So die Quaternionen sind eine Erweiterung der komplexen zahlen, wo wir können hinzufügen, subtrahieren, multiplizieren und dividieren., Und wie die komplexen Zahlen sind die Quaternionen überraschend nützlich: Sie können verwendet werden, um die Rotation des dreidimensionalen Raums zu modellieren, was sie für die Wiedergabe digitaler Landschaften und sphärischer Videos sowie für die Positionierung und Ausrichtung von Objekten wie Raumschiffen und Mobiltelefonen von unschätzbarem Wert macht Handys in unserer dreidimensionalen Welt.
Diese Erweiterungen über die reellen Zahlen hinaus setzen sich immer noch mit den achtdimensionalen Oktonionen fort, einem noch seltsameren Zahlensystem, das von Hamiltons Kollegen mit sieben imaginären Einheiten entdeckt wurde., Genau wie in allen anderen Zahlensystemen, die wir gesehen haben, können Sie Oktonionen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Und genau wie bei den Quaternionen brauchen wir einige spezielle Regeln, um zu bestimmen, wie alle imaginären Einheiten multipliziert werden. Hier werden sie grafisch in einem Diagramm dargestellt, das als „Fano-Ebene“bekannt ist:
Wie in der Darstellung für die Quaternionen ergibt die Multiplikation entlang der Pfeilrichtung ein positives Produkt und gegen den Pfeil ein negatives.
Wie die Quaternionen ist die Oktonionmultiplikation nicht kommutativ., Aber die Erweiterung unserer Idee der Zahl auf die Oktonionen kostet uns auch die Assoziativität der Multiplikation. Beim Multiplizieren von drei Oktonen x, y und z ist es nicht unbedingt wahr, dass (x × y) × z = x × (y × z). Mit dem obigen Diagramm können wir beispielsweise sehen, dass
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
aber
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\mal e_{2}=-e_{5}$
Jetzt haben wir ein Zahlensystem mit nichtkommutativer, nichtassoziativer Multiplikation und sieben Quadratwurzeln von -1., Wann würde das jemals jemand benutzen? Nun, einige Physiker glauben, dass die Oktonionen den Schlüssel zur Beschreibung der starken, schwachen und elektromagnetischen Kräfte auf Quarks, Leptonen und ihre Antiteilchen darstellen können. Wenn dies zutrifft, könnte dies helfen, eines der großen Geheimnisse der modernen Physik zu lösen.
Indem wir die reellen Zahlen wiederholt erweitern, um größere Systeme zu erstellen — die komplexen Zahlen, die Quaternionen, die Oktonionen—, in denen wir addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können, verlieren wir mit jedem Schritt ein wenig Vertrautheit. Auf dem Weg dorthin können wir auch den Kontakt zu dem verlieren, was wir für real halten., Aber was wir gewinnen, sind neue Denkweisen über die Welt. Und dafür können wir immer einen Nutzen finden.
Übungen
1. Wir haben die komplexen Zahlen erstellt, indem wir i so definiert haben, dass $latex i^2=-1$. Können Sie eine komplexe Zahl z so finden, dass $latex z^2=i$?
Hinweis: Lassen Sie z = a + bi und quadrieren Sie es. Unter welchen Bedingungen auf a und b wäre dies gleich i?
2. Lassen Sie $latex-z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Zeigen Sie, dass $latex-z^3=-1$. Können Sie die beiden anderen Würfelwurzeln von -1 finden?
Laden Sie die PDF-Grafik „Vier spezielle Zahlensysteme“ herunter, um sie mit den Schülern zu teilen.,
Korrektur hinzugefügt Okt. 26: William Rowan Hamiltons zweiter Vorname wurde im ursprünglichen Beitrag dieses Artikels als „Rohan“ falsch geschrieben.
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