už jste někdy seděli v matematické třídě a přemýšleli: „kdy to budu někdy používat?“Možná jste si položili tuto otázku, když jste se poprvé setkali s „imaginárními“ čísly a s dobrým důvodem: co by mohlo být méně praktické než číslo popsané jako imaginární?
ale imaginární čísla a složitá čísla, která pomáhají definovat, se ukáží jako neuvěřitelně užitečná. Mají dalekosáhlý dopad ve fyzice, inženýrství, teorie čísel a geometrie., A jsou prvním krokem do světa podivné počet systémů, z nichž některé jsou navrhovány jako modely tajemné vztahy základem našeho fyzického světa. Podívejme se na to, jak jsou tato neznámá čísla zakořeněna v číslech, která známe, ale zároveň jsou na rozdíl od všeho, co jsme si představovali.
„reálná čísla“ jsou některé z nejvíce známých matematických objektů: jsou to všechna čísla, která mohou být zastoupeny v desetinné notaci, jako 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… a $latex \pi \approx$ 3.141592…., Můžeme přidávat, odečítat, násobit a dělit skutečná čísla a používáme je k zodpovězení otázek jak ve třídách, tak v našem každodenním životě. Ale skutečná čísla nestačí k vyřešení všech našich matematických problémů.
v roce 1500 se řešitel hlavní rovnice Girolamo Cardano snažil vyřešit polynomiální rovnice. Neměl žádné problémy s řešením rovnic jako $ latex x^2-8x+12=0$, protože bylo snadné najít dvě čísla, jejichž součet byl 8 a jejichž produkt byl 12: jmenovitě 2 a 6., To znamenalo, $latex x^2-8x+12$ mohly být zohledněny jako $latex (x-2)(x-6)$, a vyjádřit tento polynom jako součin dvou faktorů, dělal vyřešení rovnice $latex x^2-8x+12=0$ snadné.
ale nebylo to tak snadné pro rovnice jako $ latex x^2-3x + 10=0$. Nalezení dvou čísel, která se přidávají do 3 a vynásobí se 10, se zdá být nemožnou výzvou. Pokud je produkt obou čísel kladný, musí mít stejné znaménko, a protože jejich součet je pozitivní, znamená to, že musí být oba pozitivní., Pokud však dvě kladná čísla sečtou až 3, musí být obě menší než 3, což znamená, že jejich produkt bude menší než 3 × 3 = 9. Zdá se, že neexistuje způsob, jak to udělat.
Cardano léčit tyto non-real, nebo „imaginární“ čísla váhavě, ještě popisuje aritmetický udělal s nimi jako zbytečné. Byl však překvapen, když zjistil, že poslouchali mnoho stejných pravidel, jaká dělají skutečná čísla. A i když to chvíli trvalo, Cardano je zdráhají používat $latex \sqrt{-1}$ vedl k rozvoji „komplexní čísla,“ silný a produktivní rozšíření reálných čísel.,
komplexní čísla jsou tvořena skutečnou částí a imaginární částí. Mají formu a + bi, kde a A b jsou reálná čísla, a $ latex i = \sqrt{-1}$, také známý jako “ imaginární jednotka.“Zpočátku se mohou zdát divné, ale rychle zjistíme, že můžeme přidávat, odečítat, násobit a dělit složitá čísla stejně jako u reálných čísel.,
Na sčítání a odčítání komplexních čísel, stačí kombinovat reálné části a imaginární část, jako toto:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Toto je podobné kombinace „jako pojmy“ když přidáte polynomy spolu:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8 x + 9
Násobení komplexních čísel se provádí pomocí stejné „distributivní zákon“ používáme s reálnými čísly.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., To ilustruje vlastnost „uzavření“: když vynásobíte dvě složitá čísla, získáte další složité číslo. Nic jiného nedostaneš.
násobení komplexních čísel je dokonce „komutativní“: to znamená, že když vynásobíte dvě složitá čísla V jednom pořadí, výsledek je stejný. Například, můžete ověřit, že (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. Často bereme za samozřejmost, že násobení reálných čísel je komutativní — například, že 5 × 4 = 4 × 5, ale jak uvidíme později, tento důležitý fakt nebude držet pro každé číslo systému.,
takže můžeme znásobit složitá čísla, ale jak je rozdělíme? Klíčem je pochopení vztahu mezi dělením a násobením.
studentům často říkám, že neexistuje žádná taková věc jako rozdělení:existuje pouze násobení reciproční. Když vidíme výraz $latex \frac{10}{2}$, obvykle si myslíme „10 děleno 2“, ale můžeme to také považovat za $ latex 10 \ times \ frac{1}{2}$, nebo „10 vynásobený reciproční 2.,“
nyní se to může zdát jako zbytečně komplikovaný přístup k divizi, ale vyplatí se, když začnete přemýšlet o číslech jako$latex \frac{1}{i}$. Význam „1 děleno i“ nemusí být okamžitě jasný, ale „reciproční já“ je číslo, které vynásobíte se i, abyste získali 1. A může být trochu překvapivé, že toto číslo je-já!,
i × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
Pomocí skutečnost, že i × i = -1, a některé další důležité vlastnosti reálných a komplexních čísel (že, dejte nám přivést záporné znaménko před výrazem), vidíme, že i × (–i) = 1, a tak –opravdu je převrácená jsem. To znamená, že pokud chceme rozdělit číslo já, můžeme prostě vynásobit ji tím, že jsem místo toho.
u jiných složitých čísel může být aritmetika o něco těžší, ale reciproční myšlenka stále funguje., Například, pro výpočet $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ budeme muset najít reciproční 3 + 4i, a k tomu použijeme trik zahrnující „časovat“ komplexního čísla — to je číslo, které dostanete, když budete přepínat znamení jeho imaginární část.
Všimněte si, co se stane, když vynásobíme komplexní číslo 3 + 4i jeho konjugátem 3 – 4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number.,, vydělíme obě strany rovnice 25 a trochu algebry.
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25 dolarů
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
zavedení jedné nové non-reálné číslo — i, imaginární jednotku — spuštěn úplně nový matematický svět k prozkoumání., To je zvláštní svět, kde čtverce mohou být negativní, ale ten, jehož struktura je velmi podobná reálná čísla jsou tak obeznámeni s. A toto rozšíření na skutečná čísla bylo jen začátkem.
v roce 1843 si William Rowan Hamilton představoval svět, ve kterém bylo mnoho odlišných „imaginárních jednotek“, a přitom objevil kvaterniony. Kvaternionů jsou strukturovány jako komplexní čísla, ale s další odmocniny z -1, což Hamilton nazývá j a k. Každá čtveřice má tvar a + bi + cj +dk, kde a, b, c a d jsou reálná čísla, a $latex i^2=j^2=k^2=-1$., Možná si myslíte, že někdo může vymyslet nový číselný systém, ale je důležité se zeptat, zda bude mít struktury a vlastnosti, které chceme. Bude například systém uzavřen pod násobením? Budeme schopni rozdělit?
Pro zajištění kvaternionů měl tyto vlastnosti, Hamilton musel zjistit, co dělat o i × j. Všech kvaternionů je třeba vypadat jako a + bi + cj +dk, a i × j ne. Narazili jsme na podobný problém, když jsme se poprvé vynásobí dvě komplexní čísla: Naše první výsledek měl i × i termín, který se nezdá, aby se vešly., Naštěstí bychom mohli použít skutečnost, že $ latex i^2=-1$ dát číslo v jeho správné podobě. Ale co se dá dělat s i × j?
Hamilton sám se snažil pochopit, tento produkt, a když ten okamžik inspirace nakonec přišla, vyřezal jeho pohled na kámen mostu byl přechod:
$latex i^2=j^2=k^2=i\x j\times k=-1$.
Lidé z celého světa navštívit Broome Most v Dublinu sdílet v tomto okamžiku matematický objev.,
Hamilton je slavný vztah mezi imaginární jednotky i, j a k nám umožňuje násobit a dělit kvaternionů a získat výsledky, většinou jsme čekali. Uvidíme, jak to vyřeší otázku, co bych měl být.
počínaje i × j × k = -1 vynásobíme obě strany rovnice (na jejich pravé straně)k a zjednodušíme.
z Hamiltonova vztahu vidíme, že i × j = k ., Zde využíváme skutečnosti, že k × k = -1 spolu s další vlastnosti, včetně „asociativní vlastnost“ násobení, který říká, že,, když násobíte více než dvě věci dohromady, můžete si vybrat, které dvojice se množit první. To je další vlastnost považujeme za samozřejmost, s reálnými čísly — například, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — a stejně jako komutativita, uvidíme, ne vždy držet pro každé číslo systému.,
další produkty lze odvodit podobným způsobem, a tak jsme si násobilku imaginární jednotky, které vypadá takto:
i × j = k, j × k = i, k × i = j
j × i = –k, k × j = –i i × k = –j
Tyto čtveřice násobení pravidla mohou být zastoupeny v následujícím diagramu:
Zde pohybující se kolem kruhu ve směru šipek vám dává odpovídající produkt (i × j = k), a pohybující se v opačném směru zavádí faktor -1 (ex. j × i = – k)., Všimněte si, že to znamená, že na rozdíl od skutečných a složitých čísel není násobení kvaternionů komutativní. (Proto jsme museli znásobit obě strany rovnice i × j × k = -1 výše k na jejich pravé straně.) Násobení dvou kvaternionů v různých řádech může mít různé výsledky!
$latex i\x j=k\neq-k=j\krát jsem$
Chcete-li získat druh struktury, které chceme v kvaternionů, musíme opustit komutativita násobení., Jedná se o skutečnou ztrátu: komutativita je druh algebraické symetrie a symetrie je vždy užitečnou vlastností v matematických strukturách. Ale s těmito vztahy na místě, získáme systém, kde můžeme přidat, odečíst, násobit a rozdělit stejně jako u složitých čísel.
Chcete-li přidat a odečíst kvaterniony, shromažďujeme podobné termíny jako dříve. Pro násobení stále používáme distribuční vlastnost: vyžaduje to jen trochu větší distribuci., A rozdělit kvaternionů, stále používáme myšlenku konjugované najít reciproční, protože stejně jako s komplexními čísly, produkt nějaké čtveřice s jeho konjugát je reálné číslo.
$latex (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
to Znamená, že kvaternionů jsou rozšířením komplexních čísel, kde můžeme sčítat, odčítat, násobit a dělit., A jako komplexních čísel, kvaternionů jsou překvapivě užitečné: Oni mohou být použity k modelu rotace trojrozměrného prostoru, což z nich dělá neocenitelné při vykreslování digitální krajiny a sférické video, a v určování polohy a orientace objektů, jako jsou kosmické lodě a mobilní telefony v našem trojrozměrném světě.
Tato rozšíření nad rámec reálných čísel pokračovat ještě s osmi-dimenzionální octonions, ještě divnější číslo systému objevil Hamilton s kolegy, že má sedm imaginární jednotky., Stejně jako ve všech ostatních systémech čísel, které jsme viděli, můžete přidat, odečíst, vynásobit a rozdělit oktoniony. A stejně jako u kvaternionů potřebujeme některá zvláštní pravidla, která upravují, jak znásobit všechny imaginární jednotky. Tady jsou, graficky na diagram, známý jako „Fano letadlo“:
stejně Jako v zastoupení pro kvaternionů, násobení podél směru šipky dává pozitivní produktu, a proti šipka dává negativní.
stejně jako kvaterniony není násobení oktonionu komutativní., Rozšíření naší představy o počtu na osmiúhelníky nás však také stojí asociativitu násobení. Při násobení tří oktonionů x, y a z nemusí nutně platit ,že (x × y) × Z = x × (y × z). Například pomocí výše uvedený diagram, můžeme vidět, že
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$.
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$.
Takže nyní máme počet systém s non-commutatitve, non-asociativní násobení a sedm odmocnina z -1., Kdy by to někdo použil? No, někteří fyzikové se domnívají, že octonions mohou držet klíč popisuje, jak silné, slabé a elektromagnetické síly působí na kvarky, leptony a jejich anti-částice. Pokud je to pravda, mohlo by to pomoci vyřešit jednu z velkých záhad v moderní fyzice.
opakovaným rozšířením reálných čísel o vytvoření větších systémů-komplexních čísel, kvaternionů, oktonionů — ve kterých můžeme přidávat, odečítat, násobit a dělit, ztrácíme trochu obeznámenosti s každým krokem. Cestou, můžeme také ztratit kontakt s tím, co považujeme za skutečné., Ale to, co získáme, jsou nové způsoby myšlení o světě. A vždy k tomu můžeme najít využití.
cvičení
1. Vytvořili jsme komplexní čísla definováním i tak, že $ latex i^2=-1$. Můžete najít komplexní číslo z tak, že $ latex z^2 = i$?
TIP: nechte z = a + bi a čtverec. Za jakých podmínek na a A b by se to rovnalo i?
2. Nechť $latex z= \ frac{1}{2} + \ frac {\sqrt{3}} {2}i$. Ukažte, že $ latex z^3=-1$. Můžete najít další dva krychle kořeny -1?
stáhněte si PDF grafiku „čtyři speciální číselné systémy“, kterou můžete sdílet se studenty.,
přidána korekce Oct. 26: prostřední jméno Williama Rowana Hamiltona bylo v původním příspěvku tohoto článku nesprávně napsáno jako „Rohan“.
Leave a Reply