Grenze von sin(θ)/θ als θ neigt zu 0Edit
Das Diagramm rechts zeigt einen Kreis mit Zentrum O und Radius r = 1. Lassen Sie zwei Radien OA und OB einen Bogen von θ Radiant machen. Da wir die Grenze als θ gegen Null betrachten, können wir annehmen, dass θ eine kleine positive Zahl ist, sagen wir 0 < θ < ½ π im ersten Quadranten.,
Im Diagramm sei R1 das Dreieck OAB, R2 der kreisförmige Sektor OAB und R3 das Dreieck OAC. Die Fläche des Dreiecks OAB ist:
A r e a ( R-1 ) = 1 2 | A | | A B | sin θ = 1 2 sin θ . {\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |GYNÄKOLOGIE|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} A r e a ( R 3 ) = 1 2 | A | | A C | = 1 2 tan θ . {\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
Since each region is contained in the next, one has:
Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin θ < 1 2 θ < 1 2 tan θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
da sin θ > 0 im ersten Quadranten, können wir dividieren durch durch ½ sin θ, geben:
1 < θ sin θ < 1 cos θ ⟹ 1 > sin θ θ > cos θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\displaystyle 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}
Im letzten Schritt haben wir die Reziproken der drei positiven Terme genommen und die Ungleichungen umgekehrt.
Wir schließen, dass für 0 < θ < ½ π die Menge sin(θ)/θ ist immer kleiner als 1 und immer größer als cos(θ)., Wenn also θ näher an 0 kommt, wird sin(θ)/θ zwischen einer Decke in Höhe 1 und einem Boden in Höhe cos θ „gequetscht“, was in Richtung 1 ansteigt; Daher muss sin (θ)/θ zu 1 neigen, da θ von der positiven Seite zu 0 tendiert:
lim θ → 0 + sin θ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \bis 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.,}
Für den Fall, dass θ eine kleine negative Zahl –½ π < θ < 0 verwenden wir die Tatsache, dass der Sinus eine ungerade Funktion:
lim θ → 0 − sin θ θ = lim θ → 0 + sin ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin θ − θ = lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \bis 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \bis 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \bis 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \bis 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.,}
Limit von (cos (θ)-1)/θ as θ tendiert zu 0Edit
Der letzte Abschnitt ermöglicht es uns, diese neue Grenze relativ einfach zu berechnen. Dies geschieht mit einem einfachen trick. Bei dieser Berechnung ist das Vorzeichen θ unwichtig.
lim θ → 0 cos θ − 1, θ = lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) ( cos θ + 1 cos θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \bis 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \bis 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\Links({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \bis 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
Mit cos2θ – 1 = –sin2θ,die Tatsache, dass der Grenzwert eines Produkts wird das Produkt von Grenzen und die Begrenzung Ergebnis aus dem vorherigen Abschnitt, finden wir, dass:
lim θ → 0 cos θ − 1, θ = lim θ → 0 − sin 2 θ θ ( cos θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin θ-θ ) ( lim θ → 0 sin θ cos θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \bis 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \bis 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \bis 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \bis 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
Grenze von tan (θ)/θ da θ zu 0 tendiert,
Unter Verwendung der Grenze für die Sinusfunktion ist die Tatsache, dass die Tangensenfunktion ungerade ist, und die Tatsache, dass die Grenze eines Produkts das Produkt von Grenzen ist, finden wir:
lim θ → 0 tan θ θ = ( lim θ → 0 sin θ θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \bis 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \bis 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \bis 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
Ableitung der Sinusfunktion}
Wir berechnen die Ableitung der Sinusfunktion aus der Grenzdefinition:
d θ sin θ = lim δ → 0 sin (θ + δ ) − sin θ θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.,}
Mit dem Winkel neben der Formel sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, haben wir:
d d θ sin θ = lim δ → 0 sin θ cos δ + sin δ cos θ − sin θ δ = lim δ → 0 ( sin δ δ cos θ + cos δ − 1 δ-sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta – \sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0} \ left ({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).,}
Verwenden Sie die Grenzwerte für die Sinus-und Cosinus-Funktionen:
d d θ sin θ = ( 1 ) cos θ + ( 0 ) sin θ = cos θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
Ableitung der Kosinusfunktion}
Aus der Definition von derivativeEdit
berechnen wir erneut die Ableitung der Kosinusfunktion aus der Grenzdefinition:
d θ cos θ = lim δ → 0 cos (θ + δ ) − cos θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
Mit dem Winkel neben der Formel cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, haben wir:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos θ cos δ − sin θ sin δ − cos θ δ = lim δ → 0 ( cos δ − 1 δ-cos θ − sin δ δ sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\, \cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta – \sin \theta \sin \delta – \cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0} \ left ({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}
Verwenden Sie die Grenzwerte für die Sinus-und Cosinus-Funktionen:
d d θ cos θ = ( 0 ) cos θ − ( 1 ) sin θ = − sin θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}
Von der Kette ruleEdit
berechnen Sie die Ableitung der Cosinus-Funktion aus der Kette Regel zunächst beachten Sie die folgenden drei Fakten:
cos θ = sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} sin θ = cos ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin θ = cos θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ sin \theta =\cos \theta }
Die erste und die zweite sind trigonometrische Identitäten, und die dritte ist oben bewiesen., Mit diesen drei Fakten, die wir können schreiben die folgenden,
d d θ cos θ = d θ sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ‚( g ( θ ) ) ⋅ g ‚ ( θ ) = cos ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\ links (\theta \rechts)\rechts)\cdot g^{\prime }\!,\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } .
Daher haben wir bewiesen, dass
d d θ cos θ = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta } .
Ableitung der Tangensenfunktionedit
Aus der Definition von derivativeEdit
Um die Ableitung der Tangensenfunktion tan θ zu berechnen, verwenden wir erste Prinzipien. Per definition:
d d θ tan θ = lim δ → 0 ( tan ( θ + δ ) − tan θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\rechts).}
Mit dem bekannten Winkel der Formel tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), haben wir:
d d θ tan θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\Links=\lim _{\delta \to 0}\left.}
Mit der Tatsache, dass der Grenzwert eines Produkts ist das Produkt der Grenzwerte:
d d θ tan θ = lim δ → 0 tan δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ 1 − tan θ tan δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\rechts).}
Unter Verwendung der Grenze für die Tangensenfunktion und der Tatsache, dass tan δ zu 0 tendiert, da δ zu 0 tendiert:
d d θ tan θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1-0 = 1 + tan 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}
Wir sehen sofort, dass:
d d θ tan θ = 1 + sin 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
Aus der Quotienten-Regeledit
kann man auch die Ableitung der Tangens-Funktion mit der Quotienten-Regel berechnen.,
d d θ tan θ = d θ ohne θ cos θ = ( ohne θ ) ‚⋅ cos θ − sin θ ⋅ ( cos θ ) cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
Der Zähler kann durch die pythagoreische Identität auf 1 vereinfacht werden und gibt uns
1 cos 2 θ θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
Daher
d θ tan θ θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }
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