v-ați așezat vreodată într-o clasă de matematică și v-ați întrebat: „Când voi folosi vreodată acest lucru?”S-ar putea să vă puneți această întrebare atunci când ați întâlnit pentru prima dată numere „imaginare” și cu un motiv întemeiat: ce ar putea fi mai puțin practic decât un număr descris ca imaginar?dar numerele imaginare și numerele complexe pe care le definesc se dovedesc a fi incredibil de utile. Ele au un impact de anvergură în Fizică, Inginerie, teoria numerelor și geometrie., Și ei sunt primul pas într-o lume de sisteme de numere ciudate, dintre care unele sunt propuse ca modele ale relațiilor misterioase care stau la baza lumii noastre fizice. Să aruncăm o privire la modul în care aceste numere necunoscute sunt înrădăcinate în numerele pe care le cunoaștem, dar, în același timp, sunt diferite de orice ne-am imaginat.
„numere reale” sunt unele dintre cele mai cunoscute obiecte matematice: Ele sunt toate numerele care pot fi reprezentate în notația zecimală, ca 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… și $latex \pi \cca$ 3.141592…., Putem adăuga, scădea, înmulți și împărți numere reale și le folosim pentru a răspunde la întrebări atât în sălile de clasă, cât și în viața noastră de zi cu zi. Dar numerele reale nu sunt suficiente pentru a rezolva toate problemele noastre de matematică.
în anii 1500, Solverul ecuației principale Girolamo Cardano încerca să rezolve ecuațiile polinomiale. Nu a avut probleme în rezolvarea ecuațiilor precum $ latex x^2-8x+12=0 $, pentru că era ușor să găsești două numere a căror sumă era 8 și al căror produs era 12: și anume, 2 și 6., Acest lucru a însemnat $latex x^2-8x+12$ ar putea fi luate ca $latex (x-2)(x-6)$, și exprimarea acestui polinom ca un produs de doi factori făcut rezolvarea ecuației $latex x^2-8x+12=0$ ușor.
dar nu a fost atât de ușor să faceți acest lucru pentru ecuații precum $latex x^2-3x+10=0$. Găsirea a două numere care se adaugă la 3 și se înmulțesc la 10 pare o provocare imposibilă. Dacă produsul celor două numere este pozitiv, acestea trebuie să aibă același semn și, din moment ce suma lor este pozitivă, aceasta înseamnă că ambele trebuie să fie pozitive., Dar dacă două numere pozitive adaugă până la 3, ambele trebuie să fie mai mici de 3, ceea ce înseamnă că produsul lor va fi mai mic de 3 × 3 = 9. Nu pare să existe o modalitate de a face acest lucru.Cardano a tratat ezitant aceste numere non-reale sau” imaginare”, descriind chiar aritmetica pe care a făcut-o cu ele ca fiind inutilă. Dar el a fost surprins să afle că au respectat multe dintre aceleași reguli pe care le fac numerele reale. Și, deși a durat ceva timp, utilizarea reticentă a lui Cardano de $latex \sqrt{-1}$ a dus la dezvoltarea „numerelor complexe”, o extensie puternică și productivă a numerelor reale.,numerele complexe sunt alcătuite dintr-o parte reală și o parte imaginară. Ele au forma a + bi, unde a și b sunt ambele numere reale, și $latex i=\sqrt{-1}$, cunoscută și sub numele de „unitate imaginară.”Ele pot părea ciudate la început, dar descoperim rapid că putem adăuga, scădea, înmulți și împărți numere complexe la fel cum facem cu numerele reale.,
Pentru a adăuga și scădea numere complexe, doar combina piese reale și imaginare părți, astfel:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Acest lucru este similar cu combinarea „termeni cum ar fi” atunci când adăugați polinoame împreună:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
Multiplicare de numere complexe se face folosind același „proprietate industriala” vom folosi cu numere reale.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Aceasta ilustrează proprietatea „închiderii”: când înmulțiți două numere complexe, obțineți un alt număr complex. Nu primești altceva.înmulțirea numerelor complexe este chiar „comutativă”: aceasta înseamnă că atunci când înmulțiți două numere complexe în orice ordine, rezultatul este același. De exemplu, puteți verifica faptul că (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. De multe ori ne ia acordat pentru că multiplicare de numere reale este comutativă, de exemplu, că 5 × 4 = 4 × 5 — dar cum vom vedea mai târziu, acest fapt important nu ține pentru fiecare sistem numeric.,deci putem multiplica numere complexe, dar cum le împărțim? Cheia este înțelegerea relației dintre divizare și înmulțire.adesea le spun elevilor că nu există diviziune: există doar înmulțire prin reciprocitate. Când vedem expresia $latex \ frac{10}{2}$, de obicei ne gândim „10 împărțit la 2″, dar ne putem gândi și la asta ca $latex 10\times\frac{1}{2}$, sau ” 10 înmulțit cu reciproca 2.,Acum, aceasta poate părea o abordare inutil de complicată a divizării, dar se plătește atunci când începeți să vă gândiți la numere precum$latex \frac{1}{i}$. Semnificația „1 împărțit la i „poate să nu fie imediat clară, dar” reciproca lui i ” este numărul pe care îl înmulțiți cu i pentru a obține 1. Și poate fi puțin surprinzător faptul că acest număr este –i!,
i × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
Folosind faptul că i × i = -1, și alte câteva proprietăți importante de numere reale și complexe (care să ne aducă semn negativ în fața exprimare), vom vedea că i × (–i) = 1, și așa –i într-adevăr este reciproca eu. Acest lucru înseamnă că, dacă vrem vreodată să împartă un număr de nu, putem doar să înmulțiți-l cu –i în loc.pentru alte numere complexe, aritmetica poate deveni puțin mai grea, dar ideea reciprocă încă funcționează., De exemplu, pentru a calcula $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ trebuie să găsim reciproca de 3 + 4i și pentru a face acest lucru vom folosi un truc care implică „conjugatul” unui număr complex — adică numărul pe care îl obțineți atunci când comutați semnul părții sale imaginare.observați ce se întâmplă atunci când înmulțim numărul complex 3 + 4i cu conjugatul său 3 – 4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., ne împărțim ambele părți ale ecuației de 25 și de a face unele de algebră:
$latex (3+4i) \ori (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \ori (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \ori (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \ori \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\ori\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
introducerea de asta noi non-număr real — mă, unitatea imaginară — a lansat un nou matematice lume pentru a explora., Este o lume ciudată, unde pătratele pot fi negative, dar una a cărei structură este foarte asemănătoare cu numerele reale cu care suntem atât de familiarizați. Și această extensie a numerelor reale a fost doar începutul.în 1843, William Rowan Hamilton și-a imaginat o lume în care erau multe „unități imaginare” distincte, și astfel a descoperit cuaternionii. La quaternions sunt structurate ca numere complexe, dar cu suplimentare rădăcina pătrată a lui -1, care Hamilton a sunat j și k. Fiecare quaternion are forma a + bi + cj +dk, unde a, b, c și d sunt numere reale, și $latex i^2=j^2=k^2=-1$., S-ar putea să credeți că oricine poate inventa un nou sistem de numere, dar este important să întrebați dacă va avea structurile și proprietățile pe care le dorim. De exemplu, sistemul va fi închis în multiplicare? Vom putea împărți?
Pentru a asigura quaternions avut aceste proprietăți, Hamilton a trebuit să dau seama ce să fac despre i × j. Toate quaternions trebuie sa arate ca a + bi + cj +dk, și i × j nu. Am fugit într-o problemă similară când ne-am înmulțit două numere complexe: Noastre inițiale rezultat a avut un i × i termenul în ea, care nu părea să se potrivească., Din fericire, am putea folosi faptul că $ latex i^2 = -1$ pentru a pune numărul în forma sa corectă. Dar ce se poate face cu i × j?
Hamilton însuși s-a luptat pentru a înțelege acest produs, și atunci când moment de inspirație în cele din urmă a venit, el a sculptat perspectiva lui în piatră a podului a fost de trecere:
$latex i^2=j^2=k^2=i\ori j\ori k=-1$
de Oameni din întreaga lume încă vizita Broome Pod din Dublin pentru a partaja în acest moment de descoperire matematice.,relația faimoasă a lui Hamilton între unitățile imaginare i, j și k ne permite să înmulțim și Să împărțim cuaternionii și să obținem rezultatele pe care le așteptăm în cea mai mare parte. Să vedem cum rezolvă aceasta problema a ceea ce ar trebui să fie I × J.
începând cu i × j × k = -1, înmulțim ambele părți ale ecuației (pe laturile lor drepte) cu k și simplificăm.din relația lui Hamilton, vedem că i × j = k ., Aici folosim faptul că k × k = -1 împreună cu alte proprietăți, inclusiv „proprietatea asociativă” a înmulțirii, care spune că, atunci când înmulțiți mai mult de două lucruri împreună, puteți alege ce pereche să se înmulțească mai întâi. Aceasta este o altă proprietate le ia pentru a acordat cu numere reale — de exemplu, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — și, ca și cu comutativitatea, vom vedea că nu întotdeauna țineți apăsat pentru fiecare sistem numeric.,
alte produse pot fi derivate într-un mod similar, și astfel vom obține un tabel de multiplicare de imaginar unități care arata ca aceasta:
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
Aceste quaternion multiplicare reguli poate fi reprezentată în următoarea diagramă:
Aici, mutarea în jurul valorii de cerc în direcția indicată de săgeți vă oferă produsul corespunzător (i × j = k), și se deplasează în direcția opusă introduce un factor de -1 (ex. j × i = –k)., Observați acest lucru înseamnă că, spre deosebire de numerele reale și complexe, înmulțirea cuaternionilor nu este comutativă. (Acesta este motivul pentru care a trebuit să înmulțim ambele părți ale ecuației i × j × k = -1 de mai sus cu k pe laturile lor drepte.) Înmulțirea a două cuaternioane în ordine diferite poate produce rezultate diferite!
$latex i \ times j = k \ neq-k = j \ times I$
pentru a obține tipul de structură pe care o dorim în cuaternioni, trebuie să abandonăm comutativitatea înmulțirii., Aceasta este o pierdere reală: Comutativitatea este un fel de simetrie algebrică, iar simetria este întotdeauna o proprietate utilă în structurile matematice. Dar cu aceste relații în loc, obținem un sistem în care putem adăuga, scădea, înmulți și împărți mult așa cum am făcut cu numere complexe.
pentru a adăuga și scădea cuaternioni, colectăm termeni ca înainte. Pentru a multiplica, folosim în continuare proprietatea distributivă: necesită doar puțin mai multă distribuție., Și pentru a împărți cuaternionii, încă folosim ideea conjugatului pentru a găsi reciprocul, deoarece la fel ca în cazul numerelor complexe, produsul oricărui cuaternion cu conjugatul său este un număr real.
$latex (a+bi+cj+dk)\ori(o-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1, i, j, k}{4}$
Astfel, quaternions sunt o prelungire a numere complexe în care putem adăuga, scădea, înmulți și împărți., Și ca și numerele complexe, cuaternionii sunt surprinzător de utili: pot fi folosiți pentru a modela rotația spațiului tridimensional, ceea ce îi face de neprețuit în redarea peisajelor digitale și a videoclipurilor sferice și în poziționarea și orientarea obiectelor precum navele spațiale și telefoanele mobile în lumea noastră tridimensională.aceste extensii dincolo de numerele reale continuă cu octonionii opt-dimensionali, un sistem de numere și mai străin descoperit de colegii lui Hamilton care are șapte unități imaginare., La fel ca în toate celelalte sisteme de numere pe care le-am văzut, puteți adăuga, scădea, înmulți și împărți octonioni. Și la fel ca în cazul cuaternionilor, avem nevoie de niște reguli speciale pentru a guverna cum să înmulțim toate unitățile imaginare. Aici sunt reprezentate grafic într-o diagramă cunoscută sub numele de „planul Fano”:
ca și în reprezentarea cuaternionilor, înmulțirea de-a lungul direcției săgeții dă un produs pozitiv, iar împotriva săgeții dă unul negativ.la fel ca și cuaternionii, înmulțirea octonionului nu este comutativă., Dar extinderea ideii noastre de număr la octonioni ne costă și asociativitatea înmulțirii. Când înmulțiți trei octonioni x, y și z, nu este neapărat adevărat că (x × y) × z = x × (y × z). De exemplu, folosind diagrama de mai sus, putem vedea că
$latex (e_{3}\ori e_{4})\ori e_{1}=e_{6}\ori e_{1}=e_{5}$
dar
$latex e_{3}\ori(e_{4}\ori e_{1})=e_{3}\ori e_{2}=-e_{5}$
Deci, acum avem un număr cu sistem non-commutatitve, non-asociativ înmulțire și șapte rădăcini pătrate de -1., Când ar folosi cineva asta? Ei bine, unii fizicieni cred că octonionii pot deține cheia pentru a descrie modul în care forțele puternice, slabe și electromagnetice acționează asupra quarcilor, leptonilor și anti-particulelor lor. Dacă este adevărat, acest lucru ar putea ajuta la rezolvarea unuia dintre marile mistere din fizica modernă.prin extinderea repetată a numerelor reale pentru a crea sisteme mai mari — numerele complexe, cuaternionii, octonionii — în care putem adăuga, scădea, înmulți și împărți, pierdem puțină familiaritate cu fiecare pas. Pe parcurs, s-ar putea să pierdem legătura cu ceea ce credem că este real., Dar ceea ce câștigăm sunt noi moduri de a gândi despre lume. Și putem găsi întotdeauna o utilizare pentru asta.
exerciții
1. Am creat numerele complexe prin definirea i, astfel încât $latex i^2 = -1$. Puteți găsi un număr complex z astfel încât $latex z^2 = eu$?
sugestie: să z = a + bi și pătrat-l. În ce condiții pe a și b ar fi egal cu i?
2. Fie $latex z = \frac{1}{2}+ \ frac {\sqrt{3}}{2}Eu$. Arată că $latex z^3 = -1$. Puteți găsi celelalte două rădăcini cub de -1?descărcați graficul PDF „patru sisteme de numere speciale” pentru a le partaja studenților.,
corecție adăugat octombrie. 26: numele de mijloc al lui William Rowan Hamilton a fost scris greșit ca „Rohan” în postul original al acestui articol.
Leave a Reply