heb je ooit in een wiskundelokaal gezeten en je afgevraagd: “wanneer zal ik dit ooit gebruiken?”Je zou jezelf deze vraag hebben gesteld toen je voor het eerst “imaginaire” getallen tegenkwam, en met goede reden: Wat zou er minder praktisch kunnen zijn dan een getal dat als imaginair wordt beschreven?
maar imaginaire getallen, en de complexe getallen die ze helpen definiëren, blijken ongelooflijk nuttig te zijn. Ze hebben een verreikende impact in de natuurkunde, techniek, getaltheorie en meetkunde., En ze zijn de eerste stap in een wereld van vreemde getallenstelsels, waarvan sommige worden voorgesteld als modellen van de mysterieuze relaties die ten grondslag liggen aan onze fysieke wereld. Laten we eens kijken hoe deze Onbekende getallen geworteld zijn in de getallen die we kennen, maar tegelijkertijd anders zijn dan we ons hadden voorgesteld.
de “reële getallen” zijn enkele van onze meest bekende wiskundige objecten: het zijn alle getallen die in decimale notatie kunnen worden weergegeven, zoals 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… en $latex \ pi \ ongeveer $ 3.141592…., We kunnen reële getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en we gebruiken ze om vragen te beantwoorden, zowel in klaslokalen als in ons dagelijks leven. Maar de echte getallen zijn niet genoeg om al onze wiskundeproblemen op te lossen.
in de jaren 1500 probeerde de hoofdvergelijkingsoplosser Girolamo Cardano veeltermvergelijkingen op te lossen. Hij had geen problemen met het oplossen van vergelijkingen als $ latex x^2-8x+12=0 $, omdat het gemakkelijk was om twee getallen te vinden waarvan de som 8 was en waarvan het product 12 was: namelijk 2 en 6., Dit betekende dat $latex x^2-8x + 12$ in rekening kon worden gebracht als $latex(x-2) (x-6)$, en het uitdrukken van deze veelterm als een product van twee factoren maakte het oplossen van de vergelijking $latex x^2-8x+12=0$ gemakkelijk.
maar het was niet zo eenvoudig om dit te doen voor vergelijkingen als $latex x^2-3x+10=0$. Het vinden van twee getallen die optellen tot 3 en vermenigvuldigen tot 10 lijkt een onmogelijke uitdaging. Als het product van de twee getallen positief is, moeten ze hetzelfde teken hebben, en omdat hun som positief is, betekent dit dat ze beide positief moeten zijn., Maar als twee positieve getallen optellen tot 3, moeten ze beide kleiner zijn dan 3, wat betekent dat hun product kleiner zal zijn dan 3 × 3 = 9. Er lijkt geen manier te zijn om dit te laten werken.
Cardano behandelde deze niet-reële, of “imaginaire” getallen aarzelend, en beschreef zelfs de rekenkunde die hij ermee deed als nutteloos. Maar hij was verrast om te ontdekken dat ze veel van dezelfde regels gehoorzaamden als echte getallen. En hoewel het even duurde, leidde Cardano ‘ s onwillige gebruik van $latex \sqrt{-1}$ tot de ontwikkeling van de “complexe getallen”, een krachtige en productieve uitbreiding van de reële getallen.,
complexe getallen bestaan uit een reëel deel en een imaginair deel. Ze hebben de vorm a + bi, waar a en b beide reële getallen zijn, en $latex i=\sqrt{-1}$, ook bekend als de ” imaginaire eenheid.”In het begin lijken ze misschien vreemd, maar we merken al snel dat we complexe getallen kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, net zoals we dat doen met reële getallen.,
om complexe getallen toe te voegen en af te trekken, combineer je gewoon de reële delen en de imaginaire delen, zoals dit:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Dit is vergelijkbaar met het combineren van” soortgelijke termen”wanneer u veeltermen toevoegt:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
vermenigvuldiging van complexe getallen wordt gedaan met dezelfde” distributieve eigenschap ” die we gebruiken met reële getallen.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Dit illustreert de eigenschap van “sluiting”: wanneer je twee complexe getallen vermenigvuldigt, krijg je een ander complex getal. Je krijgt niets anders.
vermenigvuldiging van complexe getallen is zelfs “commutatief”: dit betekent dat wanneer je twee complexe getallen in beide volgorde vermenigvuldigt, het resultaat hetzelfde is. Je kunt bijvoorbeeld verifiëren dat (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. we nemen vaak als vanzelfsprekend aan dat vermenigvuldiging van reële getallen commutatief is — bijvoorbeeld dat 5 × 4 = 4 × 5 — maar zoals we later zullen zien, geldt dit belangrijke feit niet voor elk getallenstelsel.,
dus we kunnen complexe getallen vermenigvuldigen, maar hoe delen we ze? De sleutel is het begrijpen van de relatie tussen deling en vermenigvuldiging.
Ik vertel studenten vaak dat er niet zoiets bestaat als Delen: er is alleen vermenigvuldiging met het wederkerige. Als we de uitdrukking $latex \frac{10}{2}$ zien, denken we meestal “10 gedeeld door 2,” maar we kunnen dit ook zien als $latex 10\times\frac{1}{2}$, of “10 vermenigvuldigd met de reciproque van 2.,”
Dit lijkt misschien een onnodig gecompliceerde benadering van delen, maar het loont als je begint te denken aan getallen als$latex \ frac{1}{i}$. De Betekenis van” 1 gedeeld door i” is misschien niet meteen duidelijk, maar “de reciproque van i” is het getal dat je vermenigvuldigt met i om 1 te krijgen. En het kan een beetje verrassend zijn dat dit nummer is-i!,
i × (- i) = – (i × i) = – (-1) = 1
gebruikmakend van het feit dat i × i = -1, en enkele andere belangrijke eigenschappen van reële en complexe getallen (die ons het negatieve teken voor de uitdrukking laten zien), zien we dat i × (–i) = 1, en dus –i is echt de reciproque van i. dit betekent dat als we ooit een getal door i willen delen, we het gewoon kunnen vermenigvuldigen met –i in plaats daarvan.
voor andere complexe getallen kan de rekenkunde wat moeilijker worden, maar het wederkerige idee werkt nog steeds., Bijvoorbeeld, om $latex \ frac{1 + 2i}{3 + 4i}$ te berekenen moeten we de reciproke van 3 + 4i vinden, en om dat te doen zullen we een truc gebruiken met het “conjugaat” van een complex getal — dat wil zeggen, het getal dat je krijgt wanneer je het teken van zijn imaginaire deel wisselt.
merk op wat er gebeurt als we het complexe getal 3 + 4i vermenigvuldigen met zijn conjugaat 3 – 4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., we verdelen de beide zijden van de vergelijking van de 25 en doen wat algebra:
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
De invoering van deze nieuwe niet-reëel getal — i de imaginaire eenheid — gestart met een geheel nieuwe wiskundige wereld te verkennen., Het is een vreemde wereld, waar kwadraten negatief kunnen zijn, maar een waarvan de structuur erg lijkt op de reële getallen die we zo kennen. Deze uitbreiding naar de reële getallen was nog maar het begin.in 1843 stelde William Rowan Hamilton zich een wereld voor waarin er veel verschillende “imaginaire eenheden” waren, en ontdekte daarmee de quaternionen. De quaternionen zijn gestructureerd als de complexe getallen, maar met extra vierkantswortels van -1, die Hamilton J en k noemde. elk quaternion heeft de vorm a + bi + cj + dk, waar a, b, c en d reële getallen zijn, en $latex i^2=j^2=k^2=-1$., Je zou kunnen denken dat iedereen een nieuw nummersysteem kan uitvinden, maar het is belangrijk om te vragen of het de structuren en eigenschappen heeft die we willen. Bijvoorbeeld, zal het systeem worden gesloten onder vermenigvuldiging? Zullen we in staat zijn om te verdelen?
om er zeker van te zijn dat de quaternionen deze eigenschappen hadden, moest Hamilton uitzoeken wat te doen met i × j. alle quaternionen moeten eruit zien als a + bi + cj +dk, en i × j niet. we kwamen een soortgelijk probleem tegen toen we voor het eerst twee complexe getallen vermenigvuldigden: ons eerste resultaat had een i × i term erin, die niet leek te passen., Gelukkig kunnen we het feit gebruiken dat $latex i^2=-1$ om het nummer in de juiste vorm te zetten. Maar wat kan er gedaan worden met i × j?Hamilton zelf worstelde om dit product te begrijpen, en toen het moment van inspiratie eindelijk kwam, kerfde hij zijn inzicht in de steen van de brug die hij overstak:
$latex i^2=j^2=k^2=I\times j\times k=-1$
mensen van over de hele wereld bezoeken nog steeds Broome Bridge in Dublin om te delen in dit moment van wiskundige ontdekking.,
Hamilton ‘ s beroemde relatie tussen de imaginaire eenheden i, j en k stelt ons in staat om quaternionen te vermenigvuldigen en te delen en de resultaten te krijgen die we meestal verwachten. Laten we eens kijken hoe dit de vraag oplost van wat i × j zou moeten zijn.
beginnend met i × j × k = -1, vermenigvuldigen we beide zijden van de vergelijking (aan hun goede kanten) met k en vereenvoudigen.
Uit Hamilton ‘ s relatie zien we dat i × j = k ., Hier gebruiken we het feit dat k × k = -1 samen met andere eigenschappen, inclusief de “associatieve eigenschap” van vermenigvuldiging, die zegt dat, wanneer je meer dan twee dingen samen vermenigvuldigt, je kunt kiezen welk paar je eerst vermenigvuldigt. Dit is een andere eigenschap die we vanzelfsprekend vinden met de reële getallen-bijvoorbeeld, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — en zoals met commutativiteit, zullen we zien dat het niet altijd geldt voor elk nummersysteem.,
De andere producten kan worden afgeleid op een vergelijkbare manier, en zo krijgen we een tafel van vermenigvuldiging van denkbeeldige eenheden die er als volgt uitziet:
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
Deze quaternion vermenigvuldiging regels kan worden weergegeven in het volgende diagram:
Hier het verplaatsen van rond de cirkel in de richting van de pijlen geeft u het gewenste product (i × j = k), en het bewegen in de tegenovergestelde richting introduceert een factor -1 (ex. j × i = – k)., Merk op dat dit betekent dat, in tegenstelling tot de reële en complexe getallen, vermenigvuldiging van quaternionen niet commutatief is. (Dit is waarom we beide zijden van de vergelijking i × j × k = -1 hierboven met k aan hun rechterkant moesten vermenigvuldigen.) Het vermenigvuldigen van twee quaternionen in verschillende orden kan verschillende resultaten opleveren!
$latex I\times j=K\neq-k=j\times I$
om de structuur te krijgen die we in de quaternionen willen, moeten we de commutativiteit van vermenigvuldiging opgeven., Dit is een echt verlies: Commutativiteit is een soort algebraïsche symmetrie, en symmetrie is altijd een nuttige eigenschap in wiskundige structuren. Maar met deze relaties op hun plaats, krijgen we een systeem waar we veel kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zoals we deden met complexe getallen.
om quaternions toe te voegen en af te trekken, verzamelen we dezelfde termen als voorheen. Om te vermenigvuldigen gebruiken we nog steeds de distributieve eigenschap: het vereist alleen een beetje meer distributie., En om quaternionen te delen, gebruiken we nog steeds het idee van het conjugaat om het wederkerige te vinden, want net als bij complexe getallen is het product van elk quaternion met zijn conjugaat een reëel getal.
$latex (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-CJ-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
de quaternionen zijn dus een uitbreiding van de complexe getallen waar we kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen., Net als de complexe getallen zijn de quaternionen verrassend nuttig: ze kunnen worden gebruikt om de rotatie van de driedimensionale ruimte te modelleren, wat ze van onschatbare waarde maakt voor het weergeven van digitale landschappen en sferische video, en voor het positioneren en oriënteren van objecten zoals ruimteschepen en mobiele telefoons in onze driedimensionale wereld.
deze uitbreidingen buiten de reële getallen gaan nog steeds door met de achtdimensionale octonionen, een nog vreemder getalsysteem ontdekt door Hamilton ’s collega’ s dat zeven imaginaire eenheden heeft., Net als in alle andere getallenstelsels die we hebben gezien, kun je octonionen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. En net als bij de quaternionen hebben we speciale regels nodig om te bepalen hoe we alle denkbeeldige eenheden moeten vermenigvuldigen. Hier zijn ze, grafisch weergegeven in een diagram dat bekend staat als het”Fano-vlak”:
zoals in de representatie voor de quaternionen, geeft vermenigvuldigen langs de richting van de pijl een positief product, en tegen de pijl een negatieve.
net als de quaternionen is octonionvermenigvuldiging niet commutatief., Maar het uitbreiden van ons idee van getal naar de octonionen kost ons ook de associativiteit van vermenigvuldiging. Bij het vermenigvuldigen van drie octonionen x, y en z, is het niet noodzakelijk waar dat (x × y) × z = x × (y × z). Bijvoorbeeld met behulp van het bovenstaande schema kunnen we zien dat
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
maar
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
we hebben nu Dus een aantal systeem met niet-commutatitve, non-associatief vermenigvuldiging en zeven vierkante wortels van -1., Wanneer zou iemand dat ooit gebruiken? Sommige natuurkundigen geloven dat de octonionen de sleutel kunnen zijn om te beschrijven hoe de sterke, zwakke en elektromagnetische krachten inwerken op quarks, leptonen en hun anti-deeltjes. Als het waar is, kan dit helpen een van de grote mysteries in de moderne natuurkunde op te lossen.
door de reële getallen herhaaldelijk uit te breiden tot grotere systemen — de complexe getallen, de quaternionen, de octonionen — waarin we kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, verliezen we een beetje bekendheid met elke stap. Onderweg kunnen we ook het contact verliezen met wat we als echt beschouwen., Maar wat we winnen zijn nieuwe manieren van denken over de wereld. En daar kunnen we altijd iets voor vinden.
oefeningen
1. We creëerden de complexe getallen door i zo te definiëren dat $latex i^2=-1$. Kun je een complex getal z vinden zodat $latex z^2 = i$?
Hint: laat z = a + bi en vierkant het. Onder welke voorwaarden op a en b zou dit gelijk zijn aan i?
2. Laat $latex z= \ frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Laat zien dat $latex z^3=-1$. Kun je de andere twee kubuswortels van -1 vinden?
Download de” vier speciale nummersystemen ” PDF-afbeelding om te delen met studenten.,
correctie toegevoegd okt. 26: William Rowan Hamilton ’s tweede naam werd verkeerd gespeld als “Rohan” in de oorspronkelijke post van dit artikel.
Leave a Reply