三角関数の微分

sin(θ)/θの極限はθが0になる傾向がある

右の図は、中心oと半径r=1の円を示しています。 二つの半径OAとOBをπラジアンの円弧にします。 たとえば、0<θ<½ π最初の象限では、θが小さな正の数であると仮定することができます。,

図では、R1を三角形OAB、R2を円形セクタOAB、R3を三角形OACとします。 三角形OABの面積は次のとおりです。

a r e a(R1)=1 2|O A||O B|sinθ=1 2sinθ。 {\displaystyle\mathrm{Area}(R_{1})={\tfrac{1}{2}}\/OA|\/OB|\sin\theta={\tfrac{1}{2}}\sin\theta\,.}A r e a(R3)=1 2/O A|/A C|=1 2tanθ. {\displaystyle\mathrm{Area}(R_{3})={\tfrac{1}{2}}\/OA|\/AC/={\tfrac{1}{2}}\tan\theta\,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

また、sin θ>0の領域を分割しよ½sin θえ

1<sin θ⁡θ<1cos⁡θ⟹1>sin⁡θ θ>cos⁡θ. {\displaystyle1<{\frac{\theta}{\sin\theta}}<{\frac{1}{\cos\theta}}\implies1>{\frac{\sin\theta}{\theta}}>\cos\theta\,.,}

最後のステップでは、三つの正の項の逆数を取り、不平等を逆転させました。

0<≤<≤に対して、量sin(θ)/θは常に1より小さく、常にcos(θ)より大きいと結論付けられます。, これにより、θが近0,sin(θ)/θは”絞り”と天井高1階高cos θ上昇に向け1となsin(θ)/θな傾向がある図1に示すポートフォリオは、θが0から正面

lim θ→0+sin⁡θ θ=1です。 {\displaystyle\lim_{\theta\to0^{+}}{\frac{\sin\theta}{\theta}}=1\,.,}

た場合のθは小幅のマイナス番号–½π<θ<0を用いてその正弦波数の機能:

lim θ→0−sin⁡θ θ=lim θ→0+sin⁡(−θ) −θ=lim θ→0+−sin⁡θ−θ=lim θ→0+sin⁡θ θ=1です。 {\displaystyle\lim_{\theta\to0^{-}}\!{\frac{\sin\theta}{\theta}}\=\lim_{\theta\to0^{+}}\！{\frac{\sin（-\シータ）}{-\シータ}}\=\\lim_{\シータ\0^{+}}\！{\frac{-\罪\シータ}{-\シータ}}\=\\lim_{\シータ\0^{+}}\！{\frac{\sin\theta}{\theta}}\=\1\,.,}

(cos(θ)-1)/θ as θは0になる傾向がありますedit

最後のセクションでは、この新しい極限を比較的簡単に計算することができます。 これは簡単なトリックの採用によって行われます。 この計算では、σの符号は重要ではありません。

lim θ→0cos⁡θ−1のθ=lim θ→0(cos⁡θ−1のθ)(cos⁡θ+1cos⁡θ+1)=lim θ→0cos θ2−1のθ(cos⁡θ+1)です。 {\displaystyle\lim_{\theta\to0}\,{\frac{\cos\theta-1}{\theta}}\=\lim_{\theta\to0}\left({\frac{\cos\theta-1}{\theta}}\right)\!\!\左（{\frac{\cos\シータ+1}{\cos\シータ+1}}\右）\=\lim_{\シータ\0}\、{\frac{\cos^{2}\！,\theta-1}{\theta\,(\cos\theta+1)}}。}

を使用cos2θ–1=–sin2θは、この限り製品の製品の限界を限定結果から、前述した

lim θ→0cos⁡θ−1のθ=lim θ→0−sin2⁡θ θ(cos⁡θ+1)=(−lim θ→0sin⁡θ θ)(lim θ→0sin⁡cos θ⁡θ+ 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle\lim_{\theta\to0}\,{\frac{\cos\theta-1}{\theta}}\=\lim_{\theta\to0}\,{\frac{-\sin^{2}\theta}{\theta(\cos\theta+1)}}\=\\left(-\lim_{\theta\to0}{\frac{\sin\theta}{\theta}}\right)\！,\左（\lim_{\シータ\0}\、{\frac{\罪\シータ}{\cos\シータ+1}}\右）\=\（-1）\左（{\frac{0}{2}}\右）=0\、。}

限tan(θ)/θとしてθが0Edit

を使用、正弦波の機能、その正接関数が奇数の時には、この制限はあり得ないので、製品の制限す。

lim θ→0ン⁡θ θ=(lim θ→0sin⁡θ θ)(lim θ→0 1cos⁡θ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle\lim_{\theta\to0}{\frac{\tan\theta}{\theta}}\=\\left（\lim_{\theta\to0}{\frac{\sin\theta}{\theta}}\right）\！,\左（\lim_{\シータ\0}{\frac{1}{\cos\シータ}}\右)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

正弦関数の導関数編集

我々は、限界定義から正弦関数の導関数を計算します：

d d≤sin≤=lim δ→0sin≤（θ+δ）−sin≤δ。 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\、\罪\シータ=\lim_{\デルタ\0}{\frac{\罪（\シータ+\デルタ）-\罪\シータ}{\デルタ}}。,}

を使用角度、式sin(α+β=sin α cos β+sin β cos αい。

d sin θ⁡θ=lim δ→0sin⁡cos θ⁡δ+sin⁡δ cos⁡θ−sin⁡θ δ=lim δ→0(sin⁡δ δ cos⁡θ+cos⁡δ−1δ sin⁡θ). {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\,\罪\シータ=\lim_{\デルタ\0}{\frac{\罪\シータ\cos\デルタ+\罪\デルタ\cos\シータ-\罪\シータ}{\デルタ}}=\lim_{\デルタ\0}\左（{\frac{\罪\デルタ}{\デルタ}}\cos\シータ+{\frac{\cos\デルタ-1}{\デルタ}}\罪\シータ\右）。, 正弦および余弦関数の極限を使用する：d d≤sin≤=（1）cos≤+（0）sin≤=cos≤。 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\,\罪\シータ=(1)\cos\シータ+(0)\罪\シータ=\cos\シータ\,.}

余弦関数の導関数edit

derivativeEditの定義から

我々は再び極限定義から余弦関数の導関数を計算します：

d d≤cosθ=lim δ→0cosθ（θ+δ）−cosθ δ。 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!,\シータ}}\、\cos\シータ=\lim_{\デルタ\0}{\frac{\cos（\シータ+\デルタ）-\cos\シータ}{\デルタ}}。}

を使用角度、式cos(α+β=cos α cos β–sin α sin βい。

d θ cos⁡θ=lim δ→0cos⁡cos θ⁡δ−sin⁡sin θ⁡δ−cos⁡θ δ=lim δ→0(cos⁡δ−1δ cos⁡θ−sin⁡δ δ sin⁡θ). {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!,\シータ}}\,\cos\シータ=\lim_{\デルタ\0}{\frac{\cos\シータ\cos\デルタ-\罪\シータ\罪\デルタ-\cos\シータ}{\デルタ}}=\lim_{\デルタ\0}\左（{\frac{\cos\デルタ-1}{\デルタ}}\cos\シータ\,-\,{\frac{\sin\デルタ}{\デルタ}}\罪\シータ\右）。 正弦および余弦関数の極限を使用する：d d≤cos≤=（0）cos≤-（1）sin≤=-sin≤。 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\,\cos\シータ=(0)\cos\シータ-(1)\罪\シータ=-\罪\シータ\,.,}

からのチェーンruleEdit

を計算するための誘導体のコサイン機能のチェーンは、原則最初の観点から、以下の三つの事実です。

cos⁡θ=sin⁡(π2−θ){\displaystyle\cos\theta=\sin\left({\tfrac{\pi}{2}}-\theta\right)}sin⁡θ=cos⁡(π2−θ) {\displaystyle\sin\theta=\cos\left({\tfrac{\pi}{2}}-\theta\right)}d sin θ⁡θ=cos⁡θ{\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}}\sin\theta=\cos\theta}

第一および第二は三角関数の恒等式であり、第三は上記で証明されています。, これら三つの事実に記述することができる、

d θ cos⁡θ=d sin θ⁡(π2−θ){\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\cos\シータ={\tfrac{\オペレータ名{d}}{\オペレータ名{d}\！\theta}}\sin\left({\tfrac{\pi}{2}}-\theta\right)}d θ f(g(θ))=f'(g(θ))⋅g'(θ)=cos⁡(π2−θ)⋅(0−1)=−sin⁡θ{\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}}f\!\left(g\!\左（\シータ\右）\右）=f^{\プライム}\！\left(g\!\左（\シータ\右）\右）\cdot g^{\プライム}\！,\左（\シータ\右）=\cos\左（{\tfrac{\パイ}{2}}-\シータ\右）\cdot（0-1）=-\罪\シータ}。

したがって、我々は

d d θ cos⁡ θ=−sin⁡ θ{\displaystyle{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\cos\シータ=-\罪\シータ}。

タンジェント関数の導関数edit

derivativeEdit

タンジェント関数tanθの導関数を計算するには、第一原理を使用します。 定義により：

d d≤tanθ=lim δ→0（tanθ（θ+δ）−tanθ δ）。 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!,\シータ}}\、\タン\シータ=\lim_{\デルタ\0}\左（{\frac{\タン（\シータ+\デルタ）-\タン\シータ}{\デルタ}}\右）。 よく知られている角度式tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α tan β)を使用すると、d d≤tanθ=lim δ→0=lim δ→0が得られます。 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\、\タン\シータ=\lim_{\デルタ\0}\左=\lim_{\デルタ\0}\左。}

することを利用して、上限の目安製品である制限:

d θタン⁡θ=lim δ→0ン⁡δ δ×lim δ→0(1+タン2⁡θ1−tan⁡tan θ⁡δ)., {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\tan\theta=\lim_{\delta\to0}{\frac{\tan\delta}{\delta}}\times\lim_{\delta\to0}\left（{\frac{1+\tan^{2}\theta}{1-\tan\theta\tan\delta}}\right）。}

接線関数の極限を用いて、δが0になるようにtan δが0になる傾向があるという事実：

d d≤tan≤=1×1+tan2≤1−0=1+tan2≤。 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\、\タン\シータ=1\回{\frac{1+\タン^{2}\シータ}{1-0}}=1+\タン^{2}\シータ。,}

まぐる

d θタン⁡θ=1+sin2⁡cos θ2⁡θ=cos2⁡θ+sin2⁡cos θ2⁡θ=1cos2⁡θ=2秒⁡θ. {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\,\タン\シータ=1+{\frac{\sin^{2}\シータ}{\cos^{2}\シータ}}={\frac{\cos^{2}\シータ+\sin^{2}\シータ}{\cos^{2}\シータ}}={\frac{1}{\cos^{2}\シータ}}=\sec^{2}\シータ\,。}

商ルールから

商ルールを使用して接関数の導関数を計算することもできます。,

d θタン⁡θ=d θな⁡cos θ⁡θ＝（⁡θ)’⋅cos⁡θ−sin⁡θ⋅(cos⁡θ)’cos2⁡θ=cos2⁡θ+sin2⁡cos θ2⁡θ{\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\シータ}}\日焼け\シータ={\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\！,\シータ}}{\frac{\罪\シータ}{\cos\シータ}}={\frac{\左（\罪\シータ\右）^{\プライム}\cdot\cos\シータ-\罪\シータ\cdot\左（\cos\シータ\右）^{\プライム}}{\cos^{2}\シータ}}={\frac{\cos^{2}\シータ+\罪^{2}\シータ}{\cos^{2}\シータ}}}

分子ピタゴラスの恒等式によって1に単純化することができ、

1cos2⁡ θ=sec2⁡ θ{\displaystyle{\frac{1}{\cos^{2}\theta}}=\sec^{2}\theta}

したがって、

d d θ tan⁡ θ=sec2⁡ θ{\displaystyle{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}}\tan\theta=\sec^{2}\theta }