Oletko koskaan istunut matematiikan luokkahuoneessa ja miettinyt: ”milloin ikinä käytän tätä?”Olet ehkä kysynyt itseltäsi tämän kysymyksen, kun olet ensin havainnut ”kuvitteellinen” numeroita, ja hyvästä syystä: Mikä voisi olla vähemmän käytännöllinen kuin numero kuvattu kuvitteellinen?
mutta imaginaariluvut ja niiden avulla määritellyt kompleksiluvut osoittautuvat uskomattoman hyödyllisiksi. Niillä on kauaskantoinen vaikutus fysiikkaan, tekniikkaan, lukuteoriaan ja geometriaan., Ja ne ovat ensimmäinen askel maailmaan outoja numerojärjestelmiä, joista joitakin ehdotetaan malleina salaperäinen suhteita taustalla fyysinen maailma. Katsotaanpa katsomaan miten nämä tuntemattomia numeroita ovat juurtuneet numerot tiedämme, mutta samaan aikaan, ovat toisin kuin mitään olemme kuvitelleet.
”reaaliluvut” ovat joitakin kaikkein tuttuja matemaattisia objekteja: He ovat kaikki numerot, jotka voivat olla edustettuina desimaalin merkintätapa, kuten 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… ja $latex \pi \n$ 3.141592…., Voimme lisätä, vähentää, moninkertaistaa ja jakaa reaalilukuja, ja käytämme niitä vastataksemme kysymyksiin sekä luokkahuoneissa että jokapäiväisessä elämässämme. Mutta oikeat numerot eivät riitä ratkaisemaan kaikkia matemaattisia ongelmiamme.
1500-luvulla yleisyhtälön ratkaisija Girolamo Cardano yritti ratkaista polynomiyhtälöitä. Hänellä ei ollut mitään ongelmia, ratkaista yhtälöitä, kuten $latex-x^2-8x+12=0 $, koska se oli helppo löytää kaksi numeroa, joiden summa oli 8 ja jonka tuote oli 12: eli 2 ja 6., Tämä tarkoitti sitä, $latex-x^2-8x+12$ voisi olla huomioon kuin $lateksi (x-2)(x-6)$, ja ilmaista tämä polynomi, koska tuote on kaksi tekijää tehty ratkaisemaan yhtälö $latex-x^2-8x+12=0$ helppoa.
mutta näin ei ollut helppoa tehdä yhtälöille, kuten $latex x^2-3x+10=0$. Kahden numeron löytäminen, jotka lisäävät 3: een ja moninkertaistuvat 10: een, tuntuu mahdottomalta haasteelta. Jos tuote kaksi numeroa on positiivinen, niillä on oltava sama merkki, ja koska niiden summa on positiivinen, tämä tarkoittaa, että ne on molemmat positiivisia., Mutta jos kaksi positiivista numeroa on enintään 3, niiden molempien on oltava alle 3, mikä tarkoittaa, että niiden tuote on alle 3 × 3 = 9. Ei näytä olevan keinoa saada tätä toimimaan.
Cardano käsitellään näitä ei-real, tai ”kuvitteellinen,” numerot epäröiden, vaikka kuvaaminen aritmeettinen hän teki heidän kanssaan yhtä hyödytön. Mutta hän yllättyi huomatessaan, että he tottelivat monia samoja sääntöjä kuin reaaliluvut. Ja vaikka kesti jonkin aikaa, Cardanon vastahakoinen käyttö $ latex \sqrt{-1}$ johti ”kompleksilukujen” kehittämiseen, voimakkaaseen ja tuottavaan reaalilukujen laajennukseen.,
kompleksiluvut koostuvat reaaliosasta ja kuvitteellisesta osasta. Niillä on muoto a + bi, jossa a ja b ovat molemmat reaalilukuja, ja $latex i=\sqrt{-1}$, joka tunnetaan myös nimellä ”imaginary unit.”Ne voivat tuntua aluksi oudolta, mutta huomaamme nopeasti, että voimme lisätä, vähentää, moninkertaistaa ja jakaa kompleksilukuja aivan kuten teemme reaalilukujen kanssa.,
lisätä ja vähentää monimutkaisia numeroita, voit vain yhdistää osat todellinen ja kuvitteellinen osat, kuten tämä:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Tämä on samanlainen yhdistämällä ”, kuten termejä” kun lisäät polynomit yhteen:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
Kertolasku monimutkaisia numeroita on tehty käyttäen samaa ”kaupan omaisuutta” käytämme oikeita numeroita.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Tämä osoittaa omaisuutta ”sulkeminen”: Kun kerrotaan kaksi monimutkaisia numeroita, saat toisen kompleksiluku. Et saa mitään muuta.
Kertolasku monimutkaisia numeroita on jopa ”kommutatiivinen”: Tämä tarkoittaa, kun kerrotaan kaksi monimutkaisia numeroita joko järjestyksessä, tulos on sama. Esimerkiksi, voit tarkistaa, että (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. Me usein itsestäänselvyytenä, että kerto-todellinen määrä on kommutatiivinen, esimerkiksi, että 5 × 4 = 4 × 5 — mutta kuten näemme myöhemmin, tämä tärkeä seikka ei pidä jokaisen numeron järjestelmään.,
jotta voimme moninkertaistaa kompleksiluvut, mutta miten jaamme ne? Olennaista on kahtiajaon ja kertolaskun välisen suhteen ymmärtäminen.
kerron usein opiskelijoille, että ei ole olemassa sellaista asiaa kuin jako: on vain kertolasku vastavuoroisesti. Kun näemme ilmaisu $latex \frac{10}{2}$, me yleensä ajatella ”10 jaettuna 2,” mutta me voimme myös ajatella tätä kuin $lateksi 10\times\frac{1}{2}$, tai ”10 kerrottuna vastavuoroinen 2.,”
Nyt tämä voi tuntua tarpeettoman monimutkainen lähestymistapa jako, mutta se maksaa pois, kun alkaa miettiä numeroita, kuten$latex \frac{1}{i}$. Merkitys ”1 jaettuna minä” ei voi olla heti selvää, mutta ”vastavuoroinen minä” on numero, voit moninkertaistaa kanssa en päästä 1. Ja se voi olla hieman yllättävää, että tämä numero on-minä!,
i × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
Käyttää siihen, että i × i = -1, ja joitakin muita tärkeitä ominaisuuksia todellisia ja monimutkaisia numeroita (eli anna meidän tuoda kielteisiä kirjaudu ulos edessä ilmaus), näemme, että i × (–i) = 1, ja niin –olen todella on vastavuoroinen minä. Tämä tarkoittaa, että jos me koskaan halua jakaa numero, jonka minä, emme voi vain moninkertaistaa sen –minä sen sijaan.
muiden kompleksilukujen kohdalla aritmetiikka saattaa hieman vaikeutua, mutta vastavuoroinen ajatus toimii edelleen., Esimerkiksi, laskea $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ on löydettävä vastavuoroinen 3 + 4i, ja tehdä, että otamme käyttöön temppu, johon ”konjugaatti” monimutkainen määrä — että on määrä saat, kun kytket merkki sen kuvitteellinen osa.
huomaa, mitä tapahtuu, kun kerrotaan kompleksiluku 3 + 4i sen konjugaatilla 3 – 4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., jaamme molemmat puolet yhtälöstä 25 ja tehdä joitakin algebra:
$lateksi (3+4i) \times (3-4i)=25$,
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$lateksi (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$,
käyttöön tämä uusi ei-real numero — en, kuvitteellinen yksikkö käynnistettiin kokonaan uusi matemaattinen maailma tutkittavana., Se on outo maailma, jossa neliöt voivat olla negatiivisia, mutta sellainen, jonka rakenne on hyvin samanlainen kuin todelliset numerot, jotka tunnemme niin hyvin. Ja tämä laajennus todellisiin numeroihin oli vasta alkua.
Vuonna 1843, William Rowan Hamilton kuvitella maailma, jossa oli monia eri ”kuvitteellinen yksiköt,” ja niin tehdessään huomasi, quaternions. Quaternions ovat rakenteeltaan monimutkaisia numeroita, mutta ylimääräisiä neliön juuret -1, jossa Hamilton kutsui j ja k. Jokainen kvaternio on muotoa a + bi + cj +dk, a, b, c ja d ovat reaalilukuja, ja $latex i^2=j^2=k^2=-1$., Saatat ajatella, kuka tahansa voi keksiä uuden numeron järjestelmään, mutta on tärkeää kysyä, jos se on rakenteita ja ominaisuuksia haluamme. Esimerkiksi, suljetaanko järjestelmä kertolaskulla? Pystymmekö jakautumaan?
varmistetaan, quaternions oli nämä ominaisuudet, Hamilton oli selvittää, mitä tehdä i × j. Kaikki quaternions täytyy näyttää a + bi + cj +dk, ja i × j ei. Törmäsimme samanlainen ongelma, kun ensin kerrotaan kaksi monimutkaisia numeroita: Meidän ensimmäinen tulos oli i × i aikavälillä se, joka ei tunnu sopivan., Onneksi, voisimme käyttää sitä, että $ latex I^2=-1$ laittaa numeron oikeaan muotoonsa. Mutta mitä voidaan tehdä I × J: llä?
Hamilton itse kamppaillut ymmärtää tämän tuotteen, ja kun inspiraatio hetki vihdoin tuli, hän veistetty hänen käsityksen kivi sillan hän oli ylittämässä:
$latex i^2=j^2=k^2=i\times j\times k=-1$,
Ihmiset alkaen ympäri maailmaa silti käydä Broome Bridge, Dublin jakaa tällä hetkellä matemaattinen löytö.,
Hamiltonin kuuluisa suhde kuvitteellisten yksiköiden i, j ja k välillä antaa meille mahdollisuuden moninkertaistaa ja jakaa kvaternioita ja saada tuloksia, joita enimmäkseen odotamme. Katsotaanpa, miten tämä ratkaisee kysymyksen siitä, mitä i × j: n pitäisi olla.
alkaen i × j × k = -1, kerrotaan yhtälön molemmat puolet (niiden oikeilla sivuilla) k: lla ja yksinkertaistetaan.
Hamiltonin suhteesta nähdään, että I × j = k ., Täällä käytämme siihen, että k × k = -1 yhdessä muiden ominaisuuksia, kuten ”assosiatiivinen omaisuus” kertolasku, joka sanoo, että kun kertomalla enemmän kuin kaksi asiaa yhteen, voit valita, mitkä pari kerrotaan ensin. Tämä on toinen ominaisuus, jota pidämme itsestäänselvyytenä kanssa todellinen määrä — esimerkiksi, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — ja kuten commutativity, näemme, että se ei aina pidä jokainen numero järjestelmän.,
muut tuotteet voidaan johtaa samalla tavalla, ja niin saamme kertotaulun kuvitteellinen yksikköä, joka näyttää tältä:
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
Nämä kvaternio kerto säännöt voidaan esittää seuraava kaavio:
Tässä, liikkuvat ympyrän suuntaan nuolet antaa sinulle sopiva tuote (i × j = k), ja liikkuu vastakkaiseen suuntaan esittelee kertoimella -1 (ex. j × i = – k)., Huomaa tämä tarkoittaa, että toisin kuin reaalilukujen ja kompleksilukujen kanssa, kvaternioiden kertolasku ei ole kommutatiivinen. (Tämän vuoksi meidän oli kerrottava yhtälön i × j × k = -1 molemmat puolet edellä k: lla niiden oikealla puolella.) Kertomalla kaksi quaternions eri järjestyksessä voi tuottaa erilaisia tuloksia!
$latex i\times j=k\neq-k=j\times i$
saada sellainen rakenne haluamme quaternions, meidän täytyy luopua commutativity kertolasku., Tämä on todellinen menetys: Commutativity on eräänlainen algebrallinen symmetria, ja symmetria on aina hyödyllinen ominaisuus matematiikan rakenteita. Mutta kun nämä suhteet ovat olemassa, saamme järjestelmän, jossa voimme lisätä, vähentää, moninkertaistaa ja jakaa paljon, kuten teimme monimutkaisilla luvuilla.
Lisää ja vähennä kvaternioita keräämme samanlaisia termejä kuin ennenkin. Moninkertaistaaksemme käytämme edelleen jakoomaisuutta: se vaatii vain vähän enemmän jakelua., Ja jakaa quaternions, me silti käyttää idea konjugaatti löytää vastavuoroinen, koska vain niin monimutkaisia numeroita, tuote tahansa kvaternio sen konjugaatti on todellinen määrä.
$lateksi (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$,
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$,
Näin, quaternions ovat jatkoa monimutkaisia numeroita, joissa voimme lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa., Ja kuten monimutkaisia numeroita, quaternions ovat yllättävän hyödyllisiä: Ne voidaan mallintaa kierto kolmiulotteisessa avaruudessa, joka tekee niistä korvaamattomia tekee digitaalisia maisemia ja pallomainen video, ja paikannus ja suuntaaminen esineitä, kuten avaruusaluksia ja kännyköiden meidän kolmiulotteisessa maailmassa.
Nämä laajennukset kuin todellinen määrä jatkaa vielä kahdeksan-ulotteinen octonions, jopa muukalainen numero järjestelmä löysi Hamiltonin kollegoille, että on seitsemän kuvitteellinen yksiköt., Kuten kaikissa muissa numerojärjestelmissä olemme nähneet, voit lisätä, vähentää, moninkertaistaa ja jakaa oktonioneja. Samoin kuin kvaternioiden suhteen, tarvitsemme erikoissääntöjä, – joilla voimme moninkertaistaa kaikki kuvitteelliset yksiköt. Tässä he ovat, graafisesti kaavio, joka tunnetaan nimellä ”Fano kone”:
Kuten edustus quaternions, kertomalla pitkin nuolen antaa positiivisen tuote, ja vastaan nuoli antaa kielteinen.
Kuten quaternions, octonion kertolasku ei ole kommutatiivinen., Mutta lukuajatuksen ulottaminen octonioihin maksaa meille myös kertolaskun yhdistävyyden. Kun kerrotaan kolme oktonionia x, y ja z, ei välttämättä pidä paikkaansa, että (x × y) × z = x × (y × z). Esimerkiksi käyttämällä kaavio edellä, voimme nähdä, että
$lateksi (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$,
mutta
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$,
Joten nyt meillä on määrä järjestelmä, jossa ei-commutatitve, ei-assosiatiivinen kerto-ja seitsemän neliön juuret -1., Milloin kukaan käyttäisi sitä? No, jotkut fyysikot uskovat, että octonions voi olla avain, jossa kuvataan, miten vahva, heikko ja sähkömagneettinen voimia toimia kvarkit, leptons ja niiden anti-hiukkasia. Jos se on totta, se voisi auttaa ratkaisemaan yhden modernin fysiikan suurista mysteereistä.
toistuvasti laajentaa todellisia numeroita luoda suurempia järjestelmiä, monimutkaisia numeroita, quaternions, octonions — voimme lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa, menetämme hieman perehtyneisyys kunkin vaiheen. Matkan varrella saatamme myös menettää kosketuksen siihen, mitä pidämme todellisena., Mutta me saamme uusia tapoja ajatella maailmaa. Sille löytyy aina käyttöä.
harjoitukset
1. Loimme monimutkaisia numeroita määrittelemällä i niin, että $ latex I^2=-1$. Löydätkö monimutkaisen numeron z siten, että $ latex z^2 = i$?
Vihje: Let z = a + bi ja square it. Millä A-ja b-ehdoilla tämä vastaisi minua?
2. Anna $latex z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Näytä, että $latex z^3=-1$. Löydätkö kaksi muuta kuution juurta -1: stä?
Lataa ”Four Special Number Systems” PDF-graafinen jakaa opiskelijoille.,
korjaus lisätty Lokakuu. 26: William Rowan Hamiltonin toinen nimi kirjoitettiin väärin ”Rohan” tämän artikkelin alkuperäisessä postauksessa.
Leave a Reply