Differentiering av trigonometriska funktioner

diagram till höger visar en cirkel med centrum O och radie R = 1. Låt två radier OA och OB göra en båge med θ radianer. Eftersom vi överväger gränsen som θ tenderar att noll, kan vi anta att θ är ett litet positivt tal, säg 0 < θ < ½ π i den första kvadranten.,

i diagrammet, låt R1 vara triangeln OAB, R2 den cirkulära sektorn OAB och R3 triangeln OAC. Området triangle OAB är:

A r E A (R 1 ) = 1 2 | O A | | O B | sin θ = 1 2 Sin θ . {\displaystyle \ mathrm {Area} (r_{1})={\tfrac {1}{2}} \ / OA |\|ob / \ sin \ theta ={\tfrac {1}{2}} \ sin \theta\,.} En r e a R ( 3 ) = 1 2 | O-A | | A C | = 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle \mathrm {Område} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

dessutom, sedan θ > 0 i den första kvadranten, kan vi dela genom Med ½ θ, vilket ger:

1 θ < 1 cos θ 1 > sin Sin Sin 48c4fcf373″> cos θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}

i det sista steget tog vi fram och återgälda av de tre positiva termerna och reverserade ojämlikheterna.

vi drar slutsatsen att för 0< θ< ½ π är kvantiteten sin(θ)/θ alltid mindre än 1 och alltid större än cos(θ)., Således, när θ kommer närmare 0, är sin (θ)/θ ”pressad” mellan ett tak på Höjd 1 och ett golv på höjd cos θ, som stiger mot 1; därmed(θ)/θ måste tendera till 1 Som θ tenderar att 0 från den positiva sidan:

lim θ → 0 + sin θ = 1 . {\displaystyle\lim _{\theta \ till 0^{ + }} {\frac {\sin \ theta } {\theta }} = 1\,.,}

För det fall där θ är ett litet negativt nummer –½ π < θ < 0, vi använder det faktum att sinus är en udda funktion:

lim θ → 0 − sin θ θ = lim θ → 0 + sin ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + sin − Sin θ − θ = lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle\lim _{\theta \ till 0^{ -}}\!{\frac {\sin \ theta } {\theta }} \ = \\lim _{\theta \ till 0^{ + }}\!{\frac {\sin (- \theta)} {- \theta }}\ =\ \lim _{\theta \till 0^{+}}\!{\frac {- \sin \ theta } {- \theta}} \ = \\lim _{\theta\till 0^{+}}\!{\frac {\sin \ theta } {\theta }} \ = \1\,.,}

gräns för (cos (θ)-1)/θ AS θ tenderar att 0Edit

det sista avsnittet gör det möjligt för oss att beräkna denna nya gräns relativt enkelt. Detta görs genom att använda ett enkelt trick. I denna beräkning är tecknet på θ oväsentligt.

lim θ → 0 cos, θ – 1 θ = lim θ → 0 ( cos, θ − 1 θ) (cos, θ + 1 cos, θ + 1) = lim, θ → 0 cos, θ − 1 θ (cos, θ + 1). {\displaystyle\lim _{\theta\to 0}\, {\frac {\cos\theta -1} {\theta}} \ = \lim _{\theta \to 0}\left ({\frac {\cos \ theta -1} {\theta }}\right)\!\!\ left ({\frac {\cos \ theta + 1} {\cos \ theta +1}}\right) \ = \\lim _{\theta\till 0}\, {\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}

med Hjälp av cos2θ – 1 = –sin2θ,det faktum att gränsen för en produkt är en produkt av gränser, och begränsa resultatet från föregående avsnitt, finner vi att:

lim θ → 0 cos ⁡ θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 synd ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 synd ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle\lim _{\theta\till 0}\, {\frac {\cos\theta -1} {\theta}} \ = \\lim _{\theta \ till 0}\, {\frac {- \sin ^{2} \ theta }{\theta (\cos \ theta +1)}}} \ = \ \ vänster (- \lim _ {\theta \ till 0} {\frac {\sin \ theta } {\theta}} \ höger)\!,\ left (\lim _{\theta \ till 0}\, {\frac {\sin \ theta } {\cos \ theta + 1}}\right) \ = \(-1)\left ({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}

gränsen för tan (θ)/θ Som θ tenderar att 0Edit

använda gränsen för sinusfunktionen, det faktum att tangent funktionen är udda, och det faktum att gränsen för en produkt är produkten av gränser, finner vi:

lim θ → 0 tan θ = ( lim θ → 0 sin θ) (lim θ → 0 1 cos θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle\lim _{\theta \ till 0} {\frac {\tan \ theta } {\theta }} \ = \ vänster (\lim _ {\theta \till 0} {\frac {\sin \ theta } {\theta }}\höger)\!,\ left (\lim _ {\theta \to 0} {\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

derivat av sinusfunktionedit

vi beräknar derivatet av sinusfunktionen från gränsdefinitionen:

d d θ sin θ = lim δ → 0 sin (θ + δ ) − sin θ δ . operatorname!\theta}\, \sin\theta =\lim _{\delta\till 0} {\frac {\sin (\theta + \ delta) – \ sin \ theta } {\delta }}.,}

med Hjälp av vinkeln förutom formel sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, vi har:

d d θ synd ⁡ θ = lim δ → 0 synd ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( synd ⁡ δ δ cos ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ synd ⁡ θ ) . operatorname!\theta}\, \sin\theta =\lim _{\delta\till 0} {\frac {\sin \theta \ cos \ delta + \ sin \ delta \ cos \ theta – \ sin \ theta } {\delta }} = \ lim _ {\delta \till 0} \ left ({\frac {\sin \ delta } {\delta}} \ cos \ theta + {\frac {\cos \ delta -1} {\delta }} \ sin \ theta \ right).,}

använda gränsvärdena för sinus-och cosinusfunktionerna:

d d θ sin trip θ = (1) cos trip θ + (0 ) sin Trip θ = cos Trip θ . operatorname!\ theta}}\, \ sin \ theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}

derivat av cosinus funktionedit

från definitionen av derivativeEdit

vi beräknar återigen derivatet av cosinusfunktionen från gränsdefinitionen:

d d θ cos θ = lim δ → 0 cos ( θ + δ ) − cos θ δ . operatorname!,\theta}\, \cos\theta =\lim _{\delta\till 0} {\frac {\cos (\theta + \ delta) – \ cos \ theta } {\delta }}.}

med Hjälp av vinkeln förutom formeln cos(α+β) = cos α cos β – sin α synd β, vi har:

d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ θ cos ⁡ δ − synd ⁡ θ synd ⁡ δ − cos ⁡ θ δ = lim δ → 0 ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ − sin ⁡ δ δ synd ⁡ θ ) . operatorname!,\Theta}\, \cos\theta =\lim _{\delta\till 0} {\frac {\cos \ theta \ cos \ delta – \ sin \ theta \ sin \ delta – \ cos \ theta } {\delta }} = \ lim _ {\delta \till 0} \ left ({\frac {\cos \ delta -1} {\delta }} \ cos \theta\, -\, {\frac {\sin \ delta } {\delta }} \ sin \ theta \ right).}

använda gränsvärdena för sinus-och cosinusfunktionerna:

d d θ cos, θ = (0) cos, θ – (1) Sin, θ = − Sin, θ . operatorname!\ theta}}\, \ cos \ theta =(0)\cos \theta- (1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}

Från kedjan ruleEdit

för Att beräkna derivatan av cosinus-funktionen från kedjeregeln, observera följande tre fakta:

cos ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\synd \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \höger)} synd ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \synd \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \höger)} d d θ synd ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ sin \ theta = \ cos \ theta }

den första och den andra är trigonometriska identiteter, och den tredje är bevisad ovan., Med hjälp av dessa tre fakta kan vi skriva följande,

d d θ cos θ = d d θ Sin (π 2-θ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!cos theta = operatorname!\theta}} \sin\left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \ right)} d d θ f ( G ( θ ) ) = F ’ (G ( θ)))f\!\vänster(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\vänster(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!,\ left (\theta\right)=\cos\left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta\right)\cdot (0-1)=-\sin \ theta } .

därför har vi visat att

d d θ cos-trips θ = – sin-trips {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!\theta} \ cos \ theta = – \sin \ theta } .

derivat av tangenten functionEdit

från definitionen av derivativeEdit

för att beräkna derivatet av tangentfunktionen tan θ använder vi första principer. Per definition:

d d θ tan ⁡ θ = lim δ → 0 ( tan ⁡ ( θ + δ ) − tan ⁡ θ δ ) . operatorname!,\theta}}\, \ tan\theta =\lim _{\delta \ till 0} \ left ({\frac {\tan (\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}

med den välkända vinkelformeln tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1-tan α tan β) har vi:

d d θ tan θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . operatorname!\theta}}\, \ tan \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0} \ left=\lim _{\delta\to 0} \ left.}

användning av det faktum att gränsen för en produkt är en produkt av gränserna:

d d θ tan θ = lim δ → 0 tan δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ 1 − tan θ tan δ ) ., operatorname!\theta}}\, \ tan \ theta = \ lim _{\delta \ till 0} {\frac {\tan \ delta } {\delta }} \ times \ lim _ {\delta \till 0} \ left ({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1 – \tan \theta \tan\delta}} \ right).}

användning av gränsen för tangent-funktionen, och det faktum att tan δ tenderar att 0 Som δ tenderar att 0:

d d θ tan θ = 1 × 1 + tan 2 θ 1-0 = 1 + tan 2 operatorname!\theta}}\, \ tan \theta =1 \ times {\frac {1+ \ tan ^{2}\theta }{1-0}} = 1+ \ tan ^{2} \ theta .,}

Vi ser omedelbart att:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sek 2 ⁡ θ . operatorname!\theta}}\, \ tan \theta =1 + {\frac {\sin ^{2}\theta } {\cos ^{2} \ theta }} = {\frac {\cos ^{2} \ theta + \ sin ^{2} \ theta } {\cos ^{2}\theta }} = {\frac {1} {\cos ^{2} \ theta}} = \sec ^{2} \ theta\,.}

från kvoten ruleEdit

man kan också beräkna derivatet av tangent-funktionen med hjälp av kvotregeln.,

d d θ tan ⁡ θ = d d θ utan ⁡ θ cos ⁡ θ = ( utan ⁡ θ ) ’⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ) ’ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\ theta} \ tan\theta ={\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!,\Theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta} theta}}}

täljaren kan förenklas till 1 av den pythagoranska identiteten, vilket ger oss,

1 cos 2 θ = sek 2 θ {\displaystyle {\frac {1} {\cos ^{2}\theta}} =\sek ^{2}\theta}

därför

d d d θ tan θ = sek 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d}} {\operatorname {d}\!\theta}} \ tan \ theta = \ sec ^{2}\theta }