Limita de sin(θ)/θ ca θ tinde să 0Edit
diagrama din dreapta arată un cerc cu centrul O si raza r = 1. Fie ca două raze OA și OB să facă un arc de θ radiani. Când avem în vedere limita ca θ tinde la zero, putem presupune θ este un mic număr pozitiv, spun 0 < θ < ½ π în primul cadran.,
în diagramă, fie R1 triunghiul OAB, R2 sectorul circular OAB și R3 triunghiul OAC. Aria triunghiului OAB este:
A r E a (R 1 ) = 1 2 | O A | | O B | sin θ θ = 1 2 sin θ . {\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} A r E a (R 3 ) = 1 2 | O A | | A C | = 1 2 tan θ θ . {\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
Since each region is contained in the next, one has:
Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin θ < 1 2 θ < 1 2 tan θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
mai Mult, deoarece sin θ > 0 în primul cadran, ne-am poate diviza prin ½ sin θ, oferind:
1 < θ sin θ < 1 cos θ ⟹ 1 > sin θ θ > cos θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implică 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}
în ultimul pas am făcut reciprocitățile celor trei termeni pozitivi, inversând inechitățile.
Putem concluziona că pentru 0 < θ < ½ π, cantitatea sin(θ)/θ este întotdeauna mai mică decât 1 și întotdeauna mai mare decât cos(θ)., Astfel, ca și θ se apropie de 0, sin(θ)/θ este „stors” între un plafon la o înălțime de 1 și o podea de la inaltime cos θ, care se ridica spre 1; prin urmare sin(θ)/θ trebuie să tindă să-1 θ tinde la 0 la partea pozitivă:
lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _ {\theta \ to 0^{ + }} {\frac {\sin \ theta } {\theta }} = 1\,.,}
Pentru cazul în care θ este un mic număr negativ –½ π < θ < 0, vom folosi faptul că în sine este un ciudat funcția:
lim θ → 0 − sin θ θ = lim θ → 0 + sin ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin θ − θ = lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0^{ -}}\!{\frac {\sin \ theta } {\theta }} \ = \ \ lim _{\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {\sin (- \theta)} {- \theta}} \ = \\lim _{\theta\to 0^{+}}\!{\frac {- \sin\theta} {- \theta}} \ = \\lim _{\theta \ to 0^{ + }}\!{\frac {\sin \ theta } {\theta}} \ = \ 1\,.,}
limita de (cos (θ) -1)/θ ca θ tinde la 0edit
ultima secțiune ne permite să calculăm această nouă limită relativ ușor. Acest lucru se face prin utilizarea unui truc simplu. În acest calcul, semnul θ este neimportant.
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) ( cos θ + 1 cos θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left ({\frac {\cos \ theta +1} {\cos\theta +1}}\ right) \ = \ \ lim _{\theta \ to 0}\, {\frac {\cos ^{2}\!,\Teta -1}{\Teta \,(\cos \Teta +1)}}.}
Folosind cos2θ – 1 = –sin2θ,faptul că limita unui produs este produs de limite, iar limita rezultat din secțiunea anterioară, constatăm că:
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 θ θ ( cos θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin θ θ ) ( lim θ → 0 sin θ cos θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \stânga(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left (\Lim _ {\theta \ to 0}\, {\frac {\sin \ theta } {\cos \ theta +1}}\ right) \ = \ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
Limita de tan(θ)/θ ca θ tinde să 0Edit
Utilizarea limită pentru sine funcția, faptul că funcția tangentă este ciudat și faptul că limita unui produs este produs de limite, vom găsi:
lim θ → 0 tan θ θ = ( lim θ → 0 sin θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _ {\theta \ to 0} {\frac {1} {\cos \ theta }} \ right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
Derivat de sine functionEdit
Vom calcula derivata funcției sinus de la limita definiție:
d d θ sin θ = lim δ → 0 sin ( θ + δ ) − sin θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \ sin \ theta = \ Lim _ {\delta \ to 0} {\frac {\sin (\Theta +\delta)- \sin\theta} {\delta }}.,}
Folosind unghiul plus formula sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, avem:
d d θ sin θ = lim δ → 0 sin θ cos δ + sin δ cos θ − sin θ δ = lim δ → 0 ( sin δ δ cos θ + cos δ 1 δ sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \dreapta).,}
Utilizarea limitelor pentru funcțiile sinus și cosinus:
d d θ sin θ = ( 1 ) cos θ + ( 0 ) sin θ = cos θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \ sin \theta =(1) \cos\theta +(0) \sin\theta =\cos \theta\,.}
Derivat de cosinusul functionEdit
Din definiția derivativeEdit
Vom calcula din nou, derivat de funcția cosinus de la limita definiție:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos ( θ + δ ) − cos θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\, \ cos \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0} {\frac {\cos (\theta + \ delta)- \cos \theta }{\delta }}.}
Folosind unghiul plus formula cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, avem:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos θ cos δ − sin θ sin δ − cos θ δ = lim δ → 0 ( cos δ 1 δ cos θ − sin δ δ sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta\sin \theta \sin \delta\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \dreapta).}
Utilizarea limitelor pentru funcțiile sinus și cosinus:
d d θ cos θ = ( 0 ) cos θ − ( 1 ) sin θ = − sin θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \ cos \ theta =(0) \ cos \ theta – (1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}
Din lanțul ruleEdit
Pentru a calcula derivata cosinus funcția de regula lanț, în primul rând respectați următoarele trei lucruri:
cos θ = sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} sin θ = cos ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin θ = cos θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!primul și al doilea sunt identități trigonometrice, iar al treilea este dovedit mai sus., Folosind aceste trei fapte, putem scrie următoarele, d d θ cos θ = d d θ sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ‘( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!Teta f!\stânga (g\!\left (\theta \ right) \ right) = f^{\prime }\!\stânga (g\!\stânga (\Teta \ dreapta) \ dreapta) \ cdot g^{\prime }\!,\left (\theta \ right)=\cos\left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta\right)\cdot (0-1) = -\sin \ theta } .
prin Urmare, am demonstrat că
d d θ cos θ = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\Teta}} \cos \ Teta = – \ sin \ teta } .
derivata funcției tangenteedit
din definiția derivatuluiedit
pentru a calcula derivata funcției tangente tan θ, folosim primele principii. Prin definiție:
d d θ tan θ θ = Lim δ → 0 ( tan (θ + δ ) − tan θ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0} \ left ({\frac {\tan (\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
folosind binecunoscuta formulă unghiulară tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), avem:
d d θ tan θ θ = Lim δ → 0 = Lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _ {\delta \la 0} \ left = \Lim _{\delta\la 0} \ left.}
Folosind faptul că limita unui produs este produs de limite:
d d θ tan θ = lim δ → 0 tan δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ 1 − tan θ tan δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\, \ tan \ theta = \ lim _ {\delta \ la 0} {\frac {\tan \ delta} {\delta }} \ times \ lim _ {\delta \la 0} \ left ({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
folosind limita pentru funcția tangentă și faptul că tan δ tinde la 0 așa cum δ tinde la 0:
d d θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\Teta }}\, \ tan \ Teta = 1 \ times {\frac {1+ \ tan ^{2} \ Teta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\teta .,}
Vom vedea imediat că:
d d θ tan θ = 1 + sin 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!teta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta}} ={\frac {\cos ^{2} \theta +\sin ^{2}\theta} {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta\,.}
din regula coeficientuluiedit
se poate calcula derivata funcției tangente folosind regula coeficientului.,
d d θ tan θ = d d θ fără θ cos θ = ( fără θ ) ‘⋅ cos θ − sin θ ⋅ ( cos θ ) ‘ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
numărătorul poate fi simplificată la 1, prin teorema lui identitate, oferindu-ne,
1 cos 2 θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
prin Urmare,
d d θ tan θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\Teta }} \ tan \ Teta = \ sec ^{2} \ Teta }
Leave a Reply