A trigonometrikus függvények differenciálása

A sin határa(θ)/θ mint θ hajlamos 0edit

a jobb oldali ábrán egy O középpontú kör és R = 1 sugár látható. Legyen két sugár OA és OB a θ radiánok íve. Mivel a határértéket θ nullára hajlamosítjuk, feltételezhetjük, hogy θ egy kis pozitív szám, mondjuk 0 < θ < ½ π az első kvadránsban.,

az ábrán legyen R1 az OAB háromszög, R2 a körszektor OAB, R3 pedig az OAC háromszög. Az OAB háromszög területe:

A r E a ( R 1 ) = 1 2 | O A | | O B | sin θ θ = 1 2 sin θ θ . {\displaystyle \ mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}} \ / OA / \ / OB / sin \ theta ={\tfrac {1}{2}}} \ sin \ theta \,.} A r e a ( R 3 ) = 1 2 | O A | | A C | = 1 2 Tan θ θ . {\displaystyle \ mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}} \ / OA / \ / AC / ={\tfrac {1}{2}} \ tan \ theta \,.,}

Since each region is contained in the next, one has:

Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin ⁡ θ < 1 2 θ < 1 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}

Továbbá, mivel sin θ > 0 az első kvadránsban, ½ sin θ-vel oszthatjuk át, így:

1 < θ sin θ θ < 1 cos ⁡ θ ⟹ 1 > sin θ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\magában foglalja az 1>{\FRAC {\sin \theta }{\theta}\theta}} >\cos \Theta\,.,}

az utolsó lépésben megtettük a három pozitív kifejezés viszonosságát, megfordítva az egyenlőtlenségeket.

arra a következtetésre jutunk, hogy a 0<θ< ½ π, a Sin(θ) / θ mennyiség mindig kevesebb, mint 1, és mindig nagyobb, mint cos(θ)., Így, ahogy θ közelebb kerül 0, sin(θ)/θ “facsart” között egy határ magasság 1, és egy emelet magasságban cos θ, amely felé emelkedik 1; ezért sin(θ)/θ kell hajlamosak 1 θ hajlamos 0 a pozitív oldalát:

lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.,}

abban az esetben, ha θ egy kis negatív szám –½ π < θ < 0, használjuk azt a tényt, hogy a szinusz páratlan függvény:

lim θ → 0 − sin ⁡ θ = Lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin θ θ − θ = lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \0^{-}}\!ez az egyetlen dolog, amit meg kell tanulnod, hogy mit akarsz csinálni.ez a szócikk részben vagy egészben az alábbi linken érhető el:ez a szócikk az alábbi linken érhető el:ez a szócikk az alábbi linken érhető el:,}

határa (cos(θ) -1) / θ mint θ hajlamos 0edit

az utolsó szakasz lehetővé teszi számunkra, hogy kiszámítsuk ezt az új határértéket viszonylag könnyen. Ez egy egyszerű trükk alkalmazásával történik. Ebben a számításban a θ jele nem fontos.

lim θ → 0 cos ⁡ θ-1 θ = lim θ → 0 ( cos ⁡ θ − 1 θ) (cos ⁡ θ + 1 cos ⁡ θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ (cos ⁡ θ + 1 ) . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0}\, {\FRAC {\cos \ theta -1} {\theta }} \ = \ lim _ {\theta \ to 0} \ bal ({\FRAC {\cos \ Theta -1}{\Theta }}\jobb)\!\!\ left ({\FRAC {\cos \ theta + 1}{\cos \theta +1}}\right)\ = \ lim _{\theta\to 0}\, {\FRAC {\cos ^{2}\!,\theta -1} {\theta \, (\cos \ theta +1)}}}.}

A cos2θ – 1 = –sin2θ,az a tény, hogy a határ egy terméket, a termék határértékeket, valamint a határ eredménye az előző részben, azt találjuk, hogy:

lim θ → 0, mert ⁡ θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 ⁡ θ θ ( mert ⁡ θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin ⁡ θ θ ) ( lim θ → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\FRAC {\cos \theta -1}{\theta}} \ = \ lim _{\theta\to 0}\, {\FRAC {- \sin ^{2} \theta} {\Theta (\cos\theta +1)} \ = \ Bal (- \lim _{\theta\to 0} {\FRAC {\sin\theta} {\Theta} \\jobb)\!,\ left (\lim _{\theta \ to 0}\, {\FRAC {\sin \ theta } {\cos \ theta + 1}}\right)\ = \(-1)\left ({\frac {0}{2}}}\right)=0\,.}

határ tan(θ) / θ mint θ hajlamos 0edit

segítségével a határ a szinusz függvény, az a tény, hogy a tangens függvény páratlan, és az a tény, hogy a határ a termék a termék a termék a termék határértékek, azt találjuk:

lim θ → 0 tan θ θ = (lim θ → 0 sin ⁡ θ) ( lim θ → 0 1 cos ⁡ θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \ lim _{\theta \ to 0} {\FRAC {\tan \ theta} {\theta }} \ = \ bal (\lim _ {\theta \ to 0} {\FRAC {\sin \ theta } {\Theta} \ jobb)\!,\ left (\lim _{\theta \ to 0} {\frac {1} {\cos \ theta }} \ right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}

A szinuszfüggvény Származékaszerkesztés

a szinuszfüggvény származékát a határértékdefinícióból számítjuk ki:

d θ sin θ θ = lim δ → 0 sin ⁡ (θ + δ) – sin θ θ δ. {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ sin \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0} {\FRAC {\sin(\theta +\delta) – \ sin \theta} {\delta }}}.,}

Segítségével a szög kívül a formula sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α van:

d d θ sin ⁡ θ = lim ∆ a → 0 sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ mert ⁡ θ − sin ⁡ δ θ = lim ∆ a → 0 ( bűn ⁡ δ δ mert ⁡ θ + cos ⁡ δ − 1 δ bűn ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ sin \ theta = \ lim _{\delta \ to 0} {\FRAC {\sin \ Theta \ cos \ delta + \ sin \ delta \ cos \ Theta – \sin\Theta} {\delta}} =\lim _{\delta\to 0}\left ({\FRAC {\sin\delta}}} \cos \theta +{\FRAC {\cos \delta -1} {\delta }}\sin \theta \right).,}

a szinusz-és koszinuszfüggvények határértékeinek felhasználásával:

d d θ sin θ θ = ( 1 ) cos ⁡ θ + ( 0 ) sin θ θ = cos ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ sin \ theta =(1) \cos\theta +(0) \sin\theta =\cos \theta\,.}

a koszinuszfüggvény Származékaszerkesztés

A derivativeEdit

meghatározásából ismét kiszámítjuk a koszinuszfüggvény származékát a határmeghatározásból:

d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 cos ⁡ (θ + δ) – cos ⁡ θ δ. {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }\, \ cos \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0} {\FRAC {\cos (\theta +\delta)- \cos\theta} {\delta }}.}

Segítségével a szög kívül a formula-cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β van:

d d θ cos ⁡ θ = lim ∆ a → 0, mert ⁡ θ cos ⁡ δ − sin ⁡ θ sin ⁡ δ − mert ⁡ δ θ = lim ∆ a → 0 ( mert ⁡ δ − 1 δ mert ⁡ θ − sin ⁡ δ δ bűn ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }\, \ cos \ Theta =\lim _{\delta \to 0}{\FRAC {\cos \theta \cos \delta -\sin \Theta \sin \delta -\cos \Theta }{\delta}}} =\lim _{\delta \to 0}\bal({\FRAC {\cos \delta -1}}\cos\Theta\, -\, {\FRAC{\sin\delta} {\sin\theta\right).}

a szinusz-és koszinuszfüggvények határértékeinek felhasználásával:

d d θ cos ⁡ θ = ( 0 ) cos ⁡ θ − ( 1 ) sin θ θ = − sin θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ cos \ theta =(0) \cos\theta -(1) \sin\theta =- \sin \theta\,.,}

a lánc ruleEdit

ahhoz, Hogy kiszámolja a származéka a koszinusz függvény a lánc szabály, hogy először figyeljük meg a következő három tények:

mert ⁡ θ = sin ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\bűn \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} bűn ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \bűn \theta =\, mert \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin ⁡ θ = cos ⁡ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }} \ sin \ theta = \ cos \ theta }

az első és a második trigonometrikus identitások,a harmadik pedig a fenti., E három tény felhasználásával a következőket írhatjuk:

d θ cos ⁡ θ = d θ sin ⁡ (π 2-θ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!\theta } \cos \ theta ={\tfrac {\operatorname {d} }} {\operatorname {d}\!\theta }} \ sin\left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta\right)} d θ f ( g ( θ ) ) = f ‘( g ( θ ) ) ⋅ g ‘ ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \ operatorname {d}\!\theta }}F\!\ left (g\!\ left (\theta \ right) \ right) = f^{\prime }\!\ left (g\!\ left (\theta \ right) \ cdot g^{\prime }\!,\ left (\theta \ right)= \ cos \ left ({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta } .

ezért bebizonyítottuk, hogy

d θ cos ⁡ θ = – sin θ θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} } {\operatorname {d}\!\theta } \ cos \ theta = – \ sin \theta } .

a tangens függvény Származékaszerkesztés

A derivativeEdit

definíciójából a Tan θ érintő függvény deriváltjának kiszámításához az első elveket használjuk. Definíció szerint:

d θ tan θ θ = lim δ → 0 ( tan ⁡ (θ + δ ) − tan θ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }\, \ tan \ theta = \ lim _{\delta \ to 0} \ left ({\FRAC {\tan (\theta + \ delta)- \ Theta} {\delta }} \ right).}

a jól ismert szög képlet tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1-tan α tan β), Van:

d θ tan θ θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ tan \ theta = \ lim _ {\delta \ to 0}\left=\lim _{\delta\to 0} \ left.}

annak a ténynek a felhasználásával, hogy egy termék határa a határértékek terméke:

d θ tan θ θ = lim δ → 0 tan δ δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ θ 1 − tan θ θ tan δ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ tan \ theta = \ lim _{\delta \ to 0} {\FRAC {\tan \ delta } {\times \ lim _{\delta \ to 0}\bal ({\frac {1+\tan ^{2} \ theta} {1 – \Theta \Theta \tan\delta}} \ jobb).}

az érintőfüggvény korlátjának használata, valamint az a tény, hogy a tan δ 0-ra hajlamos, mint δ, 0:

d θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ tan \ theta =1 \ times {\frac {1 + \ tan ^{2} \ theta} {1-0}} = 1+\tan ^{2}\theta .,}

látjuk azonnal, hogy:

d d θ tan ⁡ θ = 1 + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }\, \ tan \ theta =1 + {\frac {\sin ^{2} \ theta } {\cos ^{2} \ theta }} = {\FRAC {\cos ^{2} \ Theta + \ sin ^{2} \Theta} {\cos ^{2} \ Theta}}} = {\frac {1}{\cos ^{2} \theta}}} = \ sec ^{2} \ theta \,.}

A hányados ruleEdit

az érintőfüggvény származékát a hányados szabály segítségével is kiszámíthatja., d d θ tan ⁡ θ = d d θ nélkül ⁡ θ cos ⁡ θ = ( anélkül, hogy ⁡ θ ) ‘⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ ( cos ⁡ θ ), mert 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!Theta} \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} }} {\operatorname {d}\!,\theta }}{\FRAC {\sin \theta }{\cos \theta }}={\FRAC {\bal(\sin \theta \jobb)^{\prime }\cdot \cos \Theta -\sin \Theta \bal (\cos\theta \jobb)^{\prime}}} {\cos ^{2} \theta}}} ={\FRAC {\cos ^{2} \Theta +\sin ^{2} \Theta} {\cos ^{2} \theta}}}

a számláló egyszerűsíthető 1-re a pitagorai identitással, így

1 cos 2 θ θ = Sec 2 θ θ {\displaystyle {\frac {1} {\cos ^{2}\Theta}} =\Sec ^{2} \Theta}

ezért

d θ tan θ θ = Sec 2 θ θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\operatorname {d} \operatorname {d}\!\theta } \tan \ theta = \ sec ^{2} \ theta }