Raja-arvo sin(θ)/θ koska θ on yleensä 0Edit
kuvassa oikealla näkyy ympyrä, jonka keskus on O ja säde r = 1. Antaa kahden radii OA ja OB tehdä kaaren θ radians. Koska pohdimme raja-arvo, kun θ yleensä nolla, voidaan olettaa, θ on pieni positiivinen luku, eli 0 < θ < ½ d ensimmäisessä neljänneksessä.,
kaaviossa olkoon R1 kolmio OAB, R2 Pyöreä sektori OAB ja R3 kolmio OAC. Alueen kolmio OAB on:
A r e a ( R 1 ) = 1 2 | O | | O B | sin θ = 1 2 sin θ . {\displaystyle \mathrm {Alue} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.} A r e a (R 3) = 1 2 | O A | | A C | = 1 2 tan θ θ . {\displaystyle \mathrm {Alue} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
Since each region is contained in the next, one has:
Area ( R 1 ) < Area ( R 2 ) < Area ( R 3 ) ⟺ 1 2 sin θ < 1 2 θ < 1 2 tan θ . {\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.,}
koska sin θ > 0 ensimmäisen quadrant, saatamme jakaa kautta ½ sin θ, jolloin:
1 < θ sin θ < 1, koska θ ⟹ 1 > synti θ θ > cos θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\edellyttää 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.,}
viimeisessä vaiheessa otimme reciprocals kolme myönteiseen sävyyn, käännetään eriarvoisuutta.
Voimme päätellä, että 0 < θ <½, π, määrä, sin(θ)/θ on aina pienempi kuin 1 ja aina suurempi kuin cos(θ)., Niinpä, kuten θ lähestyy 0, sin(θ)/θ on ”puristetaan” välillä kattoon klo korkeus 1 ja lattian korkeus cos θ, joka nousee kohti 1; näin ollen sin(θ)/θ on yleensä 1 θ on yleensä 0 positiivinen puoli:
lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.,}
tapauksessa, jossa θ on pieni negatiivinen luku –½ d < θ < 0, käytämme siihen, että sini on pariton funktio:
lim θ → 0 − sin θ θ = lim θ → 0 + sin ( − θ -) − θ = lim θ → 0 + − sin θ − θ = lim θ → 0 + sin θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{ -}}\!{\frac {\sin \theta } \ = \ \ lim _{\theta \to 0^{ + }}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.,}
Raja (cos (θ)-1)/θ, koska θ pyrkii 0Edit
viimeisen jakson avulla voimme laskea tämän uuden rajan suhteellisen helposti. Tämä tehdään käyttämällä yksinkertainen temppu. Tässä laskennassa θ: n merkki on merkityksetön.
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 ( cos θ − 1 θ ) ( cos θ + 1 koska θ + 1 ) = lim θ → 0 cos 2 θ − 1 θ ( cos θ + 1 ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!,\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
Käyttämällä cos2θ – 1 = –sin2θ se,että raja-tuote on tuote rajoja ja raja-tulos edellisestä osasta, huomaamme, että:
lim θ → 0 cos θ − 1 θ = lim θ → 0 − sin 2 θ θ ( cos θ + 1 ) = ( − lim θ → 0 sin θ θ ) ( lim θ → 0 sin θ cos θ + 1 ) = ( − 1 ) ( 0 2 ) = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
Raja-tan(θ)/θ koska θ on yleensä 0Edit
Käyttämällä raja sini-toiminto, se, että tangentti-funktio on pariton, ja se, että raja-tuote on tuote rajoja, me löytää:
lim θ → 0 tan θ θ = ( lim θ → 0 sin θ θ ) ( lim θ → 0 1 cos θ ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!,\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
Johdannainen sini functionEdit
Me laskea johdannainen sini-funktion raja määritelmä:
d d θ sin θ = lim δ → 0 sin ( θ + δ ) − sin θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.,}
Käyttämällä kulma lisäksi kaava sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, meillä on:
d d θ sin θ = lim δ → 0 sin θ cos δ + sin δ cos θ − sin θ δ = lim δ → 0 ( sin δ δ cos θ + cos δ − 1 δ sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \oikealla).,}
käyttäen raja-arvoja sini-ja kosinifunktioille:
d d θ sin θ θ = ( 1 ) cos θ + ( 0 ) sin θ θ = cos θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
Johdannainen kosinin functionEdit
määritelmästä derivativeEdit
Me taas laskea derivaatta on kosini funktion raja määritelmä:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos ( θ + δ ) − cos θ δ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
Käyttämällä kulma lisäksi kaava cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, meillä on:
d d θ cos θ = lim δ → 0 cos θ cos δ − sin θ sin δ − cos θ δ = lim δ → 0 ( cos δ − 1 δ cos θ − sin δ δ sin θ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!,\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \synti \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \oikealla).}
käyttäen raja-arvoja sini − ja kosinifunktioille:
d θ cos θ θ = ( 0 ) cos θ − (1 ) sin θ θ = – sin θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.,}
ketjusta ruleEdit
laskea johdannainen kosinin toiminto ketju sääntö, ensimmäinen tarkkailla seuraavat kolme asiaa:
koska θ = sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} sin θ = cos ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ sin θ = cos θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }
ensimmäinen ja toinen ovat trigonometriset identiteetit, ja kolmas on todistettu edellä., Käyttäen näitä kolmea tosiasiat, voimme kirjoittaa seuraavasti,
d d θ cos θ = d d θ sin ( π 2 − θ ) {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)} d d θ f ( g ( θ ) ) = f ’( g ( θ ) ) ⋅ g ’ ( θ ) = cos ( π 2 − θ ) ⋅ ( 0 − 1 ) = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!theta!\left (g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left (g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!,\left (\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}-\theta \right)\cdot (0-1) = -\sin \theta}.
olemme Siis osoittaneet, että
d d θ cos θ = − sin θ {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!theta = – \ sin \theta } .
tangenttifunktion derivaatan
derivaatan määritelmästä
tangenttifunktion tan θ derivaatan laskemiseksi käytetään ensimmäisiä periaatteita. Määritelmän mukaan:
d d θ tan θ θ = Lim δ → 0 ( tan (θ + δ ) − tan θ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!,\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
Käyttämällä tunnettuja kulma kaava tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), meillä on:
d d θ tan θ = lim δ → 0 = lim δ → 0 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left=\lim _{\delta \to 0}\jäljellä.}
käyttämällä sitä, että tuotteen raja on raja-arvojen tuote:
d θ tan θ θ = lim δ → 0 tan δ δ × lim δ → 0 ( 1 + tan 2 θ θ 1 − tan θ θ tan δ δ ) ., {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
käyttäen tangenttifunktion raja-arvoa ja sitä, että tan δ pyrkii 0: ksi δ pyrkii 0:
d θ tan θ θ = 1 × 1 + tan 2 θ θ 1 − 0 = 1 + tan 2 θ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .,}
näemme heti, että:
d d θ tan θ = 1 + sin 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d}} {\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
Alkaen osamäärä ruleEdit
Yksi voi myös laskea derivaatta ja tangentti toiminto käyttää osamäärä sääntö.,
d d θ tan θ = d d θ ilman θ cos θ = ( ilman θ ) ’⋅ cos θ − sin θ ⋅ ( cos θ ) ’ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta } \ tan \ theta ={\frac {\operatorname {d} {\operatorname {d}\!,\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
osoittaja voidaan yksinkertaistaa 1 Pythagoraan identiteetti, antaa meille,
1, koska 2 θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
näin Ollen,
d d θ tan θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta } \tan \theta = \sec ^{2}\theta }
Leave a Reply